Tema 1.2 · Álgebra · Matemáticas II
Un determinante es un número que se le asigna a una matriz cuadrada y que resume una información muy concreta: si ese número es distinto de cero, la matriz tiene inversa y sus filas son independientes; si es cero, no la tiene y hay filas que dependen unas de otras. En 2º de Bachillerato casi nunca se pide un determinante por sí solo. Se pide dentro de otra cosa: para hallar el rango, para calcular la inversa, para discutir un sistema con un parámetro o para aplicar Cramer. Por eso conviene calcularlos rápido y sin fallos, porque son el paso intermedio de medio bloque de Álgebra.
Las que de verdad se usan en el examen para no calcular de más. La última columna es la que se olvida y la que más caro se paga.
| Matriz | Su determinante | Ojo con |
|---|---|---|
| At | |A| | trasponer no cambia nada |
| k·A (orden n) | kn·|A| | el exponente es el orden |
| A·B | |A|·|B| | solo vale en producto |
| A + B | no es |A|+|B| | no existe esa regla |
| A-1 | 1/|A| | hace falta |A| distinto de 0 |
| An | |A|n | sale de la del producto |
| Fila cambiada por otra | −|A| | cambia el signo |
| Dos filas iguales | 0 | o proporcionales |
n es el orden de la matriz: para una 3x3, k·A tiene determinante k al cubo por |A|.
Dos métodos, y saber cuál toca en cada caso es la mitad del trabajo.
Producto de la diagonal principal menos producto de la otra diagonal. Es la única fórmula del tema que se puede aplicar en automático sin pensar, y aparece constantemente dentro de ejercicios más largos, porque los adjuntos de una 3x3 son determinantes 2x2.
Solo sirve para matrices de orden 3. Se suman los tres productos que siguen la dirección de la diagonal principal y se restan los tres que siguen la contraria. Es rápida, pero se falla por copiar mal los términos: si escribes la matriz torcida o te saltas un signo, el resultado sale limpio y equivocado, sin ninguna señal de que algo va mal.
Se elige una fila o una columna, y cada elemento se multiplica por su adjunto: el determinante que queda al tachar su fila y su columna, con el signo que le toca según el tablero de signos alternos. Sirve para cualquier orden, también para 4x4, donde Sarrus ya no vale.
Antes de calcular, mira si puedes hacer ceros usando las propiedades: a una fila se le puede sumar otra multiplicada por un número sin que el determinante cambie. Si consigues una fila con dos ceros y desarrollas por ella, un determinante 3x3 se reduce a un solo 2x2. En un 4x4 esto no es un truco, es la única forma razonable de hacerlo.
El determinante casi nunca es la pregunta. Es el paso que hay que dar para responderla.
El rango es el orden del mayor determinante distinto de cero que se puede sacar de la matriz. Se empieza por el más grande posible y, si sale cero, se baja de orden. Es lo que se pide cuando aparece la palabra rango o cuando hay que discutir un sistema.
La inversa existe solo si el determinante es distinto de cero. Se calcula con la traspuesta de la matriz de adjuntos dividida entre el determinante. El primer paso siempre es el determinante: si sale cero, se acabó el ejercicio y la respuesta es que no tiene inversa.
Es el ejercicio clásico de Álgebra. Se calcula el determinante de la matriz de coeficientes en función del parámetro, se iguala a cero y esos valores son los casos aparte. Para todos los demás, el sistema es compatible determinado.
Resuelve sistemas cuando el determinante de los coeficientes no es cero. Cada incógnita sale de un cociente de determinantes, sustituyendo su columna por la de los términos independientes. Se pide poco por sí sola, pero se acepta como método en la discusión de sistemas.
Si el determinante de tres vectores del espacio es cero, esos vectores son linealmente dependientes y están en un mismo plano. Aquí el tema conecta con Geometría, y esa pregunta cae en los dos bloques.
Sarrus solo funciona en orden 3. En una 4x4 hay que desarrollar por adjuntos, sí o sí. Es un error que se corrige solo con saber que existe, pero cada año lo comete gente que ha calculado bien todo lo demás.
Si sacas un número de una fila, sale una sola vez. Si multiplicas la matriz entera por un número, sale elevado al orden de la matriz. Confundir esas dos cosas es el fallo más habitual de las propiedades, y da un resultado que se aleja del bueno en un factor grande.
El adjunto no es el menor a secas: lleva un signo que va alternando como un tablero de ajedrez, empezando por más en la esquina de arriba a la izquierda. Saltárselo cambia el resultado y no deja ninguna pista de dónde estuvo el fallo.
El determinante de un producto sí es el producto de los determinantes. El de una suma no es la suma. Es una regla que la gente inventa por simetría con la anterior y no existe.
Encontrar los valores del parámetro que anulan el determinante no termina el ejercicio. Hay que estudiar qué pasa exactamente en cada uno de esos valores, uno por uno, porque ahí es donde el sistema puede ser incompatible o compatible indeterminado. La discusión sin ese paso vale la mitad.
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