Tema 1.2 · Álgebra · Matemáticas II
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El método, en corto
Cada paso, explicado y con sus trampas, más abajo.
Un determinante es un número que se le asigna a una matriz cuadrada y que resume una información muy concreta: si ese número es distinto de cero, la matriz tiene inversa y sus filas son independientes; si es cero, no la tiene y hay filas que dependen unas de otras. El determinante es sobre todo una herramienta. Se calcula dentro de otra cosa: para hallar el rango, para calcular la inversa, para discutir un sistema con un parámetro o para aplicar Cramer. Por eso conviene calcularlos rápido y sin fallos, porque son el paso intermedio de buena parte del bloque de Álgebra.
Las que sirven para no calcular de más. La última columna recoge lo que es fácil olvidar.
| Matriz | Su determinante | Ojo con |
|---|---|---|
| At | |A| | trasponer no cambia nada |
| k·A (orden n) | kn·|A| | el exponente es el orden |
| A·B | |A|·|B| | solo vale en producto |
| A + B | no es |A|+|B| | no existe esa regla |
| A-1 | 1/|A| | hace falta |A| distinto de 0 |
| An | |A|n | sale de la del producto |
| Fila cambiada por otra | −|A| | cambia el signo |
| Dos filas iguales | 0 | o proporcionales |
n es el orden de la matriz: para una 3x3, k·A tiene determinante k al cubo por |A|.
Sarrus solo sirve en 3x3; los adjuntos, en cualquier orden. Lo que decide cuál conviene en una 3x3 son los ceros.
Producto de la diagonal principal menos producto de la otra diagonal. Es una fórmula que se aplica en automático, y aparece dentro de ejercicios más largos, porque los adjuntos de una 3x3 son determinantes 2x2.
Solo sirve para matrices de orden 3. Se suman los tres productos que siguen la dirección de la diagonal principal y se restan los tres que siguen la contraria. Es rápida, pero es fácil copiar mal los términos: si escribes la matriz torcida o te saltas un signo, el resultado sale limpio y equivocado, sin ninguna señal de que algo va mal.
Se elige una fila o una columna, y cada elemento se multiplica por su adjunto: el determinante que queda al tachar su fila y su columna, con el signo que le toca según el tablero de signos alternos. Sirve para cualquier orden, también para 4x4, donde Sarrus ya no vale.
Antes de calcular, mira si puedes hacer ceros usando las propiedades: a una fila se le puede sumar otra multiplicada por un número sin que el determinante cambie. Si consigues una fila con dos ceros y desarrollas por ella, un determinante 3x3 se reduce a un solo 2x2. En un 4x4 esto no es un truco: es lo que hace la cuenta manejable.
En una 3x3 sin ceros, Sarrus es directo. Si una fila o una columna tiene ceros, conviene desarrollar por ella: cada cero quita un sumando entero, y con dos ceros el determinante se queda en un solo 2x2. De 4x4 en adelante no hay elección: adjuntos, haciendo antes ceros con las propiedades.
El rango es el orden del mayor menor distinto de cero. Un menor es el determinante de un trozo cuadrado de la matriz, elegido tomando unas filas y unas columnas.
Se busca un menor de orden 2 distinto de cero. Si existe, el rango es por lo menos 2. Si todos los de orden 2 fueran cero y hubiera algún elemento distinto de cero, el rango sería 1.
Orlar un menor es añadirle una de las filas y una de las columnas que no tiene, para formar un menor de un orden más. Si alguno de esos orlados es distinto de cero, el rango sube y se sigue orlando ese. Si todos los orlados de un menor distinto de cero dan cero, el rango es el orden de ese menor.
Que un menor de orden 3 salga cero no basta para bajar a rango 2. En una matriz 3x4, como la ampliada de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, hay cuatro menores de orden 3, uno por cada columna que se quita, y el rango es 2 solo si todos son cero. Orlar ahorra cuentas: partiendo de un menor de orden 2 distinto de cero, basta con mirar los dos menores de orden 3 que lo contienen.
En la matriz de filas (1, 2, 1), (2, 1, −1) y (3, 3, 0), el menor de las dos primeras filas y columnas vale 1·1 − 2·2 = −3, que no es cero. Su único orlado es la matriz entera, y su determinante es 0 porque la tercera fila es la suma de las otras dos. El rango es 2.
Se escalona la matriz con operaciones de filas, que no cambian el rango, y se cuentan las filas que no quedan todo ceros. Las dos formas son válidas; con determinantes se ve mejor en qué valores de un parámetro cambia el rango.
Enunciado de la PAU de Madrid 2024, convocatoria extraordinaria (pregunta B.1). Las matrices se escriben fila a fila: cada punto y coma separa una fila. «Como es bien sabido, la siguiente igualdad de determinantes det(A + B) = det A + det B no es cierta en general. a) (0.75 puntos) Si A y B son dos matrices para las que det(A + B) = det A + det B, pruebe que entonces det((A + B)2) = det(A2) + det(B2) + 2 det(AB). b) (1 punto) Dadas las matrices C = (1 0 −1; α 1 0; 2 −1 α), D = (1 0 1; 2 1 2; −1 2 1), determine el único valor de α con el que sí se cumple la igualdad det(C + D) = det C + det D. c) (0.75 puntos) Para el valor α = −1, resuelva el sistema homogéneo de ecuaciones lineales que tiene a C como matriz de coeficientes.»
(A + B)2 es (A + B)·(A + B), y para un producto sí hay regla: el determinante del producto es el producto de los determinantes. Así det((A + B)2) = det(A + B)·det(A + B), y por la hipótesis del enunciado eso es (det A + det B)2.
det A y det B son números, así que su cuadrado se desarrolla como siempre: (det A)2 + (det B)2 + 2·det A·det B. Leyendo la regla del producto al revés, (det A)2 = det(A2), (det B)2 = det(B2) y det A·det B = det(AB). Queda lo que pedían. Ojo: el cuadrado se ha desarrollado con números; con matrices, (A + B)2 no es A2 + 2AB + B2, porque AB y BA no tienen por qué ser iguales.
Cada elemento con el que ocupa su mismo sitio: C + D = (2 0 0; α + 2 2 2; 1 1 α + 1).
La primera fila tiene dos ceros, así que por adjuntos solo queda un sumando: el 2 de la esquina, que lleva signo más. Se tacha su fila y su columna y queda el 2x2 (2 2; 1 α + 1), que vale 2·(α + 1) − 2·1 = 2α. Entonces det(C + D) = 2·2α = 4α.
Productos de la diagonal principal: 1·1·α = α, 0·0·2 = 0 y (−1)·α·(−1) = α, que suman 2α. Productos de la otra diagonal: (−1)·1·2 = −2, 0·α·α = 0 y 1·0·(−1) = 0, que suman −2. det C = 2α − (−2) = 2α + 2. Es fácil perder aquí el signo: se resta un número negativo, así que suma.
Diagonal principal: 1·1·1 = 1, 0·2·(−1) = 0 y 1·2·2 = 4, que suman 5. Otra diagonal: 1·1·(−1) = −1, 0·2·1 = 0 y 1·2·2 = 4, que suman 3. det D = 5 − 3 = 2.
4α = (2α + 2) + 2, es decir, 2α = 4 y α = 2. Comprobación: con α = 2, det(C + D) = 8 y det C + det D = 6 + 2 = 8. Con cualquier otro valor falla; por ejemplo, con α = 0 sale 0 frente a 2 + 2 = 4. Es el error de la lista de abajo: el determinante de una suma no es la suma de los determinantes, y aquí solo coincide en un valor.
det C = 2·(−1) + 2 = 0. Un sistema homogéneo siempre tiene la solución x = y = z = 0; con determinante cero tiene además infinitas. El menor de las dos primeras filas y columnas de C = (1 0 −1; −1 1 0; 2 −1 −1) vale 1·1 − 0·(−1) = 1, que no es cero, así que el rango es 2 y queda 3 − 2 = 1 incógnita libre.
Las dos primeras ecuaciones son x − z = 0 y −x + y = 0, así que z = x e y = x. Llamando x = λ, la solución es (λ, λ, λ). La tercera ecuación, 2x − y − z = 0, también se cumple: 2λ − λ − λ = 0.
a) Queda probado usando dos veces que el determinante de un producto es el producto de los determinantes. b) α = 2. c) x = λ, y = λ, z = λ, con λ cualquier número real.
El determinante es el paso que hay que dar para responder otra pregunta.
El rango es el orden del mayor determinante distinto de cero que se puede sacar de la matriz. Se empieza por el orden más grande posible y solo se baja de orden si todos los menores de ese orden son cero. Es lo que se pide cuando aparece la palabra rango o cuando hay que discutir un sistema.
La inversa existe solo si el determinante es distinto de cero. Se calcula con la traspuesta de la matriz de adjuntos dividida entre el determinante. El primer paso siempre es el determinante: si sale cero, se acabó el ejercicio y la respuesta es que no tiene inversa.
Se calcula el determinante de la matriz de coeficientes en función del parámetro, se iguala a cero y esos valores son los casos aparte. Si hay tantas ecuaciones como incógnitas, para todos los demás el sistema es compatible determinado.
Resuelve sistemas cuando el determinante de los coeficientes no es cero. Cada incógnita sale de un cociente de determinantes, sustituyendo su columna por la de los términos independientes. Se usa para resolver el sistema una vez discutido, en los casos con solución única.
Si el determinante de tres vectores del espacio es cero, esos vectores son linealmente dependientes y están en un mismo plano. Aquí el tema conecta con Geometría, y la misma pregunta puede plantearse en los dos bloques.
Sarrus solo funciona en orden 3. En una 4x4 hay que desarrollar por adjuntos, sí o sí. Es un error que se corrige solo con saber que existe, y lo comete también quien ha calculado bien todo lo demás.
Si sacas un número de una fila, sale una sola vez. Si multiplicas la matriz entera por un número, sale elevado al orden de la matriz. Confundir esas dos cosas da un resultado que se aleja del bueno en un factor grande.
El adjunto no es el menor a secas: lleva un signo que va alternando como un tablero de ajedrez, empezando por más en la esquina de arriba a la izquierda. Saltárselo cambia el resultado y no deja ninguna pista de dónde estuvo el fallo.
El determinante de un producto sí es el producto de los determinantes. El de una suma no es la suma. Es una regla inventada por simetría con la anterior, y no existe.
Encontrar los valores del parámetro que anulan el determinante no termina el ejercicio. Hay que estudiar qué pasa exactamente en cada uno de esos valores, uno por uno, porque ahí es donde el sistema puede ser incompatible o compatible indeterminado. La discusión sin ese paso queda incompleta.
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¿Te sabes lo que hay que saber antes de escribir la primera línea? Cuándo vale Sarrus y cuándo no, qué signo lleva cada adjunto, qué le pasa al determinante cuando multiplicas una fila o la matriz entera, y qué queda por mirar después de anular el determinante. Se contesta marcando.
Hacer el test de Determinantes →La regla · 10 preguntas · 5 minutos
Que las filas de la matriz no son independientes: alguna se puede obtener a partir de las otras. En consecuencia, la matriz no tiene inversa, su rango es menor que su orden y, si es la matriz de un sistema, ese sistema no tiene solución única.
Todo esto desarrollado paso a paso, con los trucos que ahorran tiempo, los errores señalados donde se cometen y ejercicios tipo PAU resueltos. Ya se puede descargar gratis en PDF desde el temario de Matemáticas II.