Tema 1.1 · Álgebra · Matemáticas II
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El método, en corto
Cada paso, explicado y con sus trampas, más abajo.
Las matrices son el primer tema de Álgebra y es muy mecánico: una vez tienes el procedimiento, los ejercicios se parecen mucho entre sí. Casi todo el tema sale de una sola idea que es fácil saltarse: el producto de matrices no es conmutativo. De ahí viene que no se puedan dividir, que haya que multiplicar por la inversa siempre por el mismo lado, y que un fallo de orden cambie el resultado aunque la cuenta esté bien.
Van los primeros a propósito: si has llegado buscando por qué te sale mal, empieza por esta lista.
Las matrices no se dividen. No existe la operación. Si tienes una matriz multiplicando y quieres quitarla, se multiplica por su inversa; no se pasa dividiendo al otro lado. Dividir deja mal todo lo que viene después.
Como el producto no es conmutativo, hay que multiplicar los dos miembros por el mismo lado en el que está la matriz que quieres quitar. Si la ecuación es A·X = B, la solución es la inversa de A por B, en ese orden. Si es X·A = B, es B por la inversa de A. Invertir el orden da otra matriz distinta.
A·B y B·A no son lo mismo, ni siquiera cuando las dos son cuadradas del mismo tamaño. A veces ni siquiera se puede hacer el producto en los dos sentidos. Todo el tema se sostiene sobre esto.
Al sacar factor común, A·X + X no es (A + 1)·X sino (A + I)·X: a una matriz no se le suma el número 1, sino la identidad. Y si aparece un número sumando a una matriz, ese número tiene que convertirse en la matriz identidad multiplicada por él. No se puede sumar un número a una matriz directamente, y saltárselo deja la ecuación sin sentido.
Una matriz solo tiene inversa si su determinante es distinto de cero. Si sale cero, la matriz es singular y no hay inversa: ese ejercicio se resuelve por otro camino o directamente no tiene solución única.
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¿Te sabes lo que hay que saber antes de escribir la primera línea? Cuándo se pueden multiplicar dos matrices, por qué el orden importa, qué hay que comprobar antes de calcular una inversa y cómo se despeja una ecuación matricial sin dividir. Se contesta marcando.
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Es la duda que hay detrás de los dos primeros errores de la lista.
No existe una operación «B entre A» con matrices. Lo que en números sería dividir, aquí es multiplicar por la matriz inversa, A-1, que cumple A·A-1 = A-1·A = I. Por lo mismo tampoco se puede «tachar»: de A·B = A·C no se deduce que B = C. La A solo se quita multiplicando por A-1, y únicamente si A tiene inversa.
Como el producto no es conmutativo, A-1·B y B·A-1 son en general dos matrices distintas. Una expresión como B/A no dice cuál de las dos es, y por eso no se usa. La inversa se coloca pegada a la matriz que quieres quitar, por el mismo lado en que está, y en los dos miembros de la igualdad.
Al multiplicar A-1·A aparece la identidad I, y la identidad se puede quitar porque I·X = X. Por eso, cuando hay que sacar factor común, donde en números quedaría un 1 se escribe I: A·X + X = (A + I)·X.
Primero con letras y al final con números. El orden de los pasos es lo que evita el error del lado.
De A·X = B sale X = A-1·B, con la inversa por la izquierda. De X·A = B sale X = B·A-1, por la derecha. De A·X·B = C sale X = A-1·C·B-1. Y de A·X + B = C se pasa B restando y queda X = A-1·(C − B). Antes de operar conviene saber el tamaño de X: si A es 2x2 y B es 2x3, en A·X = B la X tiene que ser 2x3.
Se juntan los términos con X en un miembro y se saca la X por el lado en que está en los dos: A·X + X = (A + I)·X, con la X detrás, y X·A − X = X·(A − I), con la X delante. Si en un término la X está a la derecha y en otro a la izquierda, como en A·X + X·B, no se puede sacar factor común y hay que pasar a un sistema.
Tiene que ser cuadrada y con determinante distinto de cero. Si la que se invierte es A + I, el determinante que se mira es el de A + I, no el de A.
Por adjuntos o por Gauss. En una 2x2 hay un atajo: se intercambian los dos elementos de la diagonal principal, se cambia el signo a los otros dos y se divide todo entre el determinante.
Si has despejado X = B·A-1, el producto es B por A-1, en ese orden. Hacerlo al revés da otra matriz, que no cumple la ecuación.
Se sustituye la X obtenida y se hace la cuenta: tiene que salir la matriz del otro miembro. Es la prueba que caza el error del lado.
Enunciado de la PAU de Madrid 2024, convocatoria ordinaria (pregunta B.1). Las matrices se escriben fila a fila: cada punto y coma separa una fila. «Consideremos las matrices reales A = (3 −1 1; 1 1 1; 1 −1 3), B = (b 2b b; 2b 3b b; b b b) y C = (2 0 0; 0 2 0; 0 0 3), con b ≠ 0. Se pide: a) (1.25 puntos) Encontrar todos los valores de b para los que se verifica BCB-1 = A. b) (0.75 puntos) Calcular el determinante de la matriz AAt. c) (0.5 puntos) Resolver el sistema B·(x; y; z) = (3; −1; 1) para b = 1.»
En la ecuación aparece B-1, así que lo primero es ver que existe; los criterios oficiales de corrección dan 0,5 puntos solo por justificarlo. Cada fila de B lleva el factor b, y un factor común sale del determinante una vez por fila: tres filas, b3. Queda |B| = b3·|D|, con D = (1 2 1; 2 3 1; 1 1 1). Por Sarrus, los tres productos de la diagonal principal son 1·3·1 = 3, 2·1·1 = 2 y 1·2·1 = 2, que suman 7; los de la otra diagonal son 1·3·1 = 3, 2·2·1 = 4 y 1·1·1 = 1, que suman 8. |D| = 7 − 8 = −1, así que |B| = −b3, que no es cero porque b ≠ 0. B tiene inversa.
Aquí está el error de dar por hecho que el producto conmuta: B·C·B-1 no es C, porque B y B-1 no están juntas y no se pueden cambiar de sitio. Si lo fuera, la ecuación diría C = A, y no es verdad. Lo correcto es quitar B-1 multiplicando los dos miembros por B por la derecha, que es el lado donde está: B·C·B-1·B = A·B, y como B-1·B = I, queda B·C = A·B. Así no hace falta calcular la inversa con la b dentro.
C es diagonal, y multiplicar por una diagonal por la derecha multiplica cada columna por su número: la primera columna de B por 2, la segunda por 2 y la tercera por 3. Por ejemplo, el elemento de la fila 1 y la columna 1 es b·2 + 2b·0 + b·0 = 2b. Sale B·C = (2b 4b 3b; 4b 6b 3b; 2b 2b 3b).
Fila 1 de A, (3, −1, 1): por la columna 1 de B, (b, 2b, b), da 3b − 2b + b = 2b; por la columna 2, (2b, 3b, b), da 6b − 3b + b = 4b; por la columna 3, (b, b, b), da 3b − b + b = 3b. Fila 2, (1, 1, 1): b + 2b + b = 4b, 2b + 3b + b = 6b y b + b + b = 3b. Fila 3, (1, −1, 3): b − 2b + 3b = 2b, 2b − 3b + 3b = 2b y b − b + 3b = 3b. Sale A·B = (2b 4b 3b; 4b 6b 3b; 2b 2b 3b).
B·C y A·B coinciden elemento a elemento, y la b no se va en ningún momento: la igualdad se cumple sea cual sea b. Como el enunciado exige b ≠ 0, que es justo lo que hace que exista B-1, la respuesta es: todos los valores de b distintos de cero.
El determinante de un producto es el producto de los determinantes, y trasponer no lo cambia: |A·At| = |A|·|At| = |A|2. Por Sarrus, los productos de la diagonal principal de A son 3·1·3 = 9, (−1)·1·1 = −1 y 1·1·(−1) = −1, que suman 7; los de la otra diagonal, 1·1·1 = 1, (−1)·1·3 = −3 y 3·1·(−1) = −3, que suman −5. |A| = 7 − (−5) = 12. Se puede contrastar con el apartado a): de A = B·C·B-1 sale |A| = |B|·|C|·(1/|B|) = |C| = 2·2·3 = 12. Por tanto |A·At| = 122 = 144.
Con b = 1, B es la matriz D del primer paso y el sistema es x + 2y + z = 3, 2x + 3y + z = −1, x + y + z = 1. Como |D| = −1 no es cero, tiene solución única. Restando la tercera ecuación a la primera, las x y las z se van: y = 3 − 1 = 2. Restando la tercera a la segunda: x + 2y = −2, y con y = 2 sale x = −6. De la tercera, z = 1 − x − y = 1 + 6 − 2 = 5. Comprobación en la primera: −6 + 4 + 5 = 3.
a) Se cumple para todos los valores de b distintos de cero. b) |A·At| = 144. c) x = −6, y = 2, z = 5.
En el examen no las definen: las nombran y se supone que sabes cuál es cada una.
| Tipo | Cómo se reconoce |
|---|---|
| Cuadrada | Tantas filas como columnas |
| Diagonal | Cuadrada y todo cero salvo la diagonal principal |
| Identidad | Diagonal con unos; es el 1 de las matrices |
| Traspuesta | Se cambian las filas por las columnas |
| Simétrica | Coincide con su traspuesta |
| Regular | Su determinante no es cero, así que tiene inversa |
| Singular | Su determinante es cero: no tiene inversa |
La identidad es la clave de las ecuaciones matriciales: una matriz por su inversa da la identidad, y la identidad se puede quitar.
Te dan una igualdad con una matriz incógnita y hay que despejarla. El procedimiento es corto, pero el orden de los factores lo decide todo.
Por adjuntos o por el método de Gauss, según lo que pida el enunciado. Antes de nada se comprueba el determinante, porque si es cero no hay nada que calcular.
El número de filas que quedan sin anularse al escalonar la matriz. Se hace por Gauss o mirando los menores. Es el paso previo a discutir un sistema, así que aparece también en el tema de sistemas.
Calcular la matriz elevada a un exponente grande. No se hace multiplicando cien veces: se calculan las primeras potencias, se busca el patrón que se repite y se generaliza.
Solo cuando es cuadrada y su determinante es distinto de cero. Si el determinante vale cero, la matriz es singular y no existe la inversa. En una ecuación matricial eso no deja el ejercicio sin respuesta: se escribe X con letras, se hace el producto y se igualan los elementos. Sale un sistema de ecuaciones, que en ese caso tiene infinitas soluciones o ninguna.
Todo esto desarrollado paso a paso, con los trucos que ahorran tiempo, los errores señalados donde se cometen y ejercicios tipo PAU resueltos. Ya se puede descargar gratis en PDF desde el temario de Matemáticas II.