Tema 1.1 · Álgebra · Matemáticas II
Las matrices son el primer tema de Álgebra y el más mecánico del temario: una vez tienes el procedimiento, los ejercicios se repiten con pocas variaciones. Casi todo lo que cae en la PAU 2027 sale de una sola idea que la mayoría se salta: el producto de matrices no es conmutativo. De ahí viene que no se puedan dividir, que haya que multiplicar por la inversa siempre por el mismo lado, y que la mitad de los fallos del examen sean de orden y no de cuenta.
Van los primeros a propósito: si has llegado buscando por qué te sale mal, la respuesta está casi seguro en esta lista.
Las matrices no se dividen. No existe la operación. Si tienes una matriz multiplicando y quieres quitarla, se multiplica por su inversa; no se pasa dividiendo al otro lado. Es el fallo que más ejercicios enteros tira a la basura.
Como el producto no es conmutativo, hay que multiplicar los dos miembros por el mismo lado en el que está la matriz que quieres quitar. Si la ecuación es A·X = B, la solución es la inversa de A por B, en ese orden. Si es X·A = B, es B por la inversa de A. Invertir el orden da otra matriz distinta.
A·B y B·A no son lo mismo, ni siquiera cuando las dos son cuadradas del mismo tamaño. A veces ni siquiera se puede hacer el producto en los dos sentidos. Todo el tema se sostiene sobre esto.
Cuando en la ecuación aparece una matriz sumando a un número, ese número tiene que convertirse en la matriz identidad multiplicada por él. No se puede sumar un número a una matriz directamente, y saltárselo deja la ecuación sin sentido.
Una matriz solo tiene inversa si su determinante es distinto de cero. Si sale cero, la matriz es singular y no hay inversa: ese ejercicio se resuelve por otro camino o directamente no tiene solución única.
En el examen no las definen: las nombran y se supone que sabes cuál es cada una.
| Tipo | Cómo se reconoce |
|---|---|
| Cuadrada | Tantas filas como columnas |
| Diagonal | Cuadrada y todo cero salvo la diagonal principal |
| Identidad | Diagonal con unos; es el 1 de las matrices |
| Traspuesta | Se cambian las filas por las columnas |
| Simétrica | Coincide con su traspuesta |
| Regular | Su determinante no es cero, así que tiene inversa |
| Singular | Su determinante es cero: no tiene inversa |
La identidad es la clave de las ecuaciones matriciales: una matriz por su inversa da la identidad, y la identidad se puede quitar.
Te dan una igualdad con una matriz incógnita y hay que despejarla. Es el ejercicio estrella del tema y donde se juegan los puntos: el procedimiento es corto, pero el orden de los factores lo decide todo.
Por adjuntos o por el método de Gauss, según lo que pida el enunciado. Antes de nada se comprueba el determinante, porque si es cero no hay nada que calcular.
El número de filas que quedan sin anularse al escalonar la matriz. Se hace por Gauss o mirando los menores. Es el paso previo a discutir un sistema, así que aparece también en el tema de sistemas.
Calcular la matriz elevada a un exponente grande. No se hace multiplicando cien veces: se calculan las primeras potencias, se busca el patrón que se repite y se generaliza.
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