Tema 1.3 · Álgebra · Matemáticas CCSS
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El método, en corto
Cada paso, explicado y con sus trampas, más abajo.
Esta página va de dos herramientas del bloque de Álgebra. La regla de Cramer, que resuelve un sistema con tantas ecuaciones como incógnitas cuando el determinante de los coeficientes no es cero: cada incógnita sale de dividir dos determinantes. Y las ecuaciones matriciales, en las que la incógnita es una matriz X y se despeja multiplicando por una inversa, por el mismo lado en los dos miembros. Aquí tienes los trucos para no fallar un signo, qué hacer cuando el determinante vale cero y un sistema de examen resuelto entero por Cramer. Cómo se calcula un determinante y para qué sirve está en la página de matrices, y las inecuaciones, en la de programación lineal. Qué parte entra en tu examen lo decide tu comunidad.
Atajos y comprobaciones para no perder puntos por un signo o una columna mal cambiada. No sustituyen al procedimiento: lo hacen más seguro.
D es el determinante de la matriz de coeficientes, y decide qué camino se sigue. Si no vale cero, el sistema es compatible determinado y Cramer da la solución directamente. Si vale cero, no tiene sentido calcular los demás determinantes, porque habría que dividir entre cero. En un sistema con parámetro, igualar D a cero da los valores que hay que estudiar aparte.
Suma por un lado los tres productos que llevan signo más y por otro los tres que llevan signo menos, y al final resta el segundo total entero, entre paréntesis. Con la matriz de filas (1, 1, 1), (2, −1, 1) y (1, 2, −1), los tres primeros productos suman 6 y los otros tres suman −1, así que el determinante es 6 − (−1) = 7. Si se van restando uno a uno, es fácil cambiar un signo sin darse cuenta.
Dx es el mismo determinante D con la columna de la x sustituida por la de los términos independientes; las demás columnas no se tocan. En 3x + 2y = 8 y x + y = 3, D vale 1, Dx vale 8·1 − 2·3 = 2 y Dy vale 3·3 − 8·1 = 1, así que x = 2 e y = 1. Para no liarse, se escribe D primero y se copia cambiando solo la columna que toca.
Si la solución está mal, alguna ecuación deja de cumplirse, así que es la forma de cazar un signo cambiado en un determinante. En el ejemplo anterior, 3·2 + 2·1 = 8 y 2 + 1 = 3: las dos ecuaciones se cumplen. Si una no sale, hay que repasar los determinantes.
Dividir una ecuación entera entre un número no cambia la solución y deja determinantes con números más pequeños. En el ejercicio de abajo, 20x + 5y + 20z = 1800 pasa a ser 4x + y + 4z = 360 al dividir entre 5. D cambia, pero x, y, z salen iguales.
Lo justo para entender por qué funcionan los trucos y el ejercicio.
Sirve para sistemas cuadrados, con tantas ecuaciones como incógnitas, cuyo determinante de coeficientes D no es cero. Cada incógnita es un cociente: x = Dx/D, y = Dy/D y z = Dz/D, donde cada numerador es D con la columna de esa incógnita sustituida por los términos independientes. En un sistema de tres ecuaciones hay que calcular cuatro determinantes de orden 3.
Que el sistema no tiene solución única: o no tiene ninguna, y es incompatible, o tiene infinitas, y es compatible indeterminado. El determinante solo no distingue entre los dos casos. Para saber cuál es hay que comparar el rango de la matriz de coeficientes con el de la ampliada, o escalonar el sistema por Gauss.
Enunciado de la PAU de Andalucía 2026, convocatoria ordinaria, ejercicio 1, apartado A (3 puntos): «En un festival de cine con tres sesiones se venden tres tipos de entradas: Estándar, Premium y VIP. En la sesión inaugural se vendieron 5 entradas Premium, 20 Estándar y 20 VIP, obteniéndose una recaudación de 1800€. En la sesión nocturna se vendieron 10 VIP, 10 Estándar y 5 Premium, recaudándose 1000€. El día de la proyección de clausura, el número de entradas Premium superó en 4 al resto de entradas, que fueron 12 VIP y 4 Estándar, arrojando una recaudación de 1560€. a) (2.25 puntos) Calcule el precio de cada tipo de entrada y la recaudación total obtenida. b) (0.75 puntos) Determine el tipo de entrada con la que se obtuvo una mayor recaudación y el valor de dicha recaudación.»
x = precio de la entrada Estándar, y = precio de la Premium, z = precio de la VIP, en euros.
«El resto de entradas» son 12 VIP y 4 Estándar, 16 en total, y las Premium superan en 4 a ese resto: 16 + 4 = 20 entradas Premium, no 4. Es la frase trampa del enunciado.
Inaugural: 20x + 5y + 20z = 1800. Nocturna: 10x + 5y + 10z = 1000. Clausura: 4x + 20y + 12z = 1560. Dividiendo entre 5, entre 5 y entre 4: 4x + y + 4z = 360; 2x + y + 2z = 200; x + 5y + 3z = 390.
D es el determinante de filas (4, 1, 4), (2, 1, 2) y (1, 5, 3). Productos que suman: 4·1·3 = 12; 1·2·1 = 2; 4·2·5 = 40; total 54. Productos que restan: 4·1·1 = 4; 4·2·5 = 40; 1·2·3 = 6; total 50. D = 54 − 50 = 4. No es cero: el sistema tiene solución única y Cramer vale.
Filas (360, 1, 4), (200, 1, 2) y (390, 5, 3). Suman: 360·1·3 = 1080; 1·2·390 = 780; 4·200·5 = 4000; total 5860. Restan: 4·1·390 = 1560; 360·2·5 = 3600; 1·200·3 = 600; total 5760. Dx = 5860 − 5760 = 100 y x = 100/4 = 25.
Filas (4, 360, 4), (2, 200, 2) y (1, 390, 3). Suman: 4·200·3 = 2400; 360·2·1 = 720; 4·2·390 = 3120; total 6240. Restan: 4·200·1 = 800; 4·2·390 = 3120; 360·2·3 = 2160; total 6080. Dy = 160 y y = 160/4 = 40.
Filas (4, 1, 360), (2, 1, 200) y (1, 5, 390). Suman: 4·1·390 = 1560; 1·200·1 = 200; 360·2·5 = 3600; total 5360. Restan: 360·1·1 = 360; 4·200·5 = 4000; 1·2·390 = 780; total 5140. Dz = 220 y z = 220/4 = 55. Si los productos que restan se van restando uno a uno, es fácil perder un signo: el tercer error de la lista de abajo.
20·25 + 5·40 + 20·55 = 500 + 200 + 1100 = 1800; 10·25 + 5·40 + 10·55 = 250 + 200 + 550 = 1000; 4·25 + 20·40 + 12·55 = 100 + 800 + 660 = 1560. Se cumplen las tres.
La Estándar cuesta 25 €, la Premium 40 € y la VIP 55 €. Recaudación total: 1800 + 1000 + 1560 = 4360 €.
Estándar: 20 + 10 + 4 = 34 entradas, 34 · 25 = 850 €. Premium: 5 + 5 + 20 = 30 entradas, 30 · 40 = 1200 €. VIP: 20 + 10 + 12 = 42 entradas, 42 · 55 = 2310 €. Suman 4360 €, como debía. Resultado: a) Estándar 25 €, Premium 40 €, VIP 55 €, y 4360 € en total; b) la entrada VIP, con 2310 €.
Cramer no se aplica al sistema entero, porque habría que dividir entre cero, pero sí a un sistema más pequeño con un parámetro.
Con D = 0 el sistema puede no tener solución o tener infinitas. Hay que decidirlo antes, con los rangos de la matriz de coeficientes y de la ampliada o escalonando. En x + y + z = 6, x − y + 2z = 5 y 2x + 3z = 11, D = 0 y la tercera ecuación es la suma de las otras dos: sobra una ecuación y el sistema tiene infinitas soluciones.
Se busca dentro de la matriz de coeficientes un determinante distinto de cero del tamaño del rango. Con las dos primeras ecuaciones y las columnas de x e y: 1·(−1) − 1·1 = −2, que no es cero. Las ecuaciones que no entran en ese menor se quitan.
La z pasa al segundo miembro como parámetro, z = t: x + y = 6 − t y x − y = 5 − 2t. Es un sistema 2×2 con determinante −2.
Dx = (6 − t)·(−1) − 1·(5 − 2t) = −11 + 3t, así que x = (−11 + 3t)/(−2) = (11 − 3t)/2. Dy = 1·(5 − 2t) − (6 − t)·1 = −1 − t, así que y = (1 + t)/2. La solución es ((11 − 3t)/2, (1 + t)/2, t) para cualquier número real t. Con t = 1 sale (4, 1, 1), que cumple las tres ecuaciones.
Entre matrices no se puede dividir, así que para quitar la matriz que acompaña a X se multiplica por su inversa, y eso exige que su determinante no sea cero. La inversa entra por el mismo lado por el que la matriz toca a X, y en los dos miembros a la vez: si en A·X = B la A está a la izquierda de X, se multiplica por A-1 por la izquierda y queda X = A-1·B. Como el producto de matrices no es conmutativo, B·A-1 es otra matriz distinta. Cuando X aparece dos veces se saca factor común respetando el lado, y el número suelto se convierte en la identidad. Y cuando la matriz no tiene inversa, o X está multiplicada por lados distintos, se escribe X con sus elementos como incógnitas, se hacen los productos y se iguala casilla a casilla: sale un sistema de ecuaciones normal.
La inversa entra por el lado por el que la matriz está pegada a X, y en los dos miembros a la vez.
| Ecuación | Solución | Hace falta |
|---|---|---|
| A·X = B | X = A-1·B | |A| distinto de 0 |
| X·A = B | X = B·A-1 | |A| distinto de 0 |
| A·X·B = C | X = A-1·C·B-1 | |A| y |B| distintos de 0 |
| A·X·B = A + B | X = A-1·(A + B)·B-1 = B-1 + A-1 | |A| y |B| distintos de 0 |
| A·X + B = C | X = A-1·(C − B) | |A| distinto de 0 |
| A·X + X = B | X = (A + I)-1·B | |A + I| distinto de 0 |
| X·A − 2X = B | X = B·(A − 2I)-1 | |A − 2I| distinto de 0 |
| A·X = X·A | No se despeja: se escribe X con letras y se iguala casilla a casilla | Resolver el sistema que sale |
I es la matriz identidad, la que tiene unos en la diagonal y ceros en el resto. Al sacar X factor común aparece I porque X = I·X. En A·X + X·B no se puede sacar factor común, porque X está multiplicada por lados distintos. La ecuación A·X·B = A + B es la de la PAU de Madrid 2025-2026, ordinaria, pregunta 3.1 a): al repartir, A-1·A·B-1 = B-1 y A-1·B·B-1 = A-1. Si dudas del lado de la inversa, mira las dimensiones: con A de 2×2 y B de 2×3, A-1·B se puede multiplicar y B·A-1 no.
Cramer divide entre D, así que con D = 0 no se puede usar sobre el sistema completo. Lo correcto es averiguar primero si el sistema es incompatible o compatible indeterminado, y en el segundo caso aplicar Cramer a un sistema más pequeño con un parámetro.
En un sistema compatible indeterminado hay que quedarse con las ecuaciones que forman un determinante distinto de cero. Si se eligen otras y ese determinante vale cero, el sistema pequeño tampoco tiene solución única y Cramer vuelve a fallar. Se comprueba calculando ese determinante antes de seguir.
En la matriz de filas (3, −1) y (2, 4), el determinante es 3·4 − (−1)·2 = 12 + 2 = 14. Escribir 12 − 2 = 10 es perder el signo del −1. En Sarrus pasa lo mismo con los tres productos que se restan: se suman aparte y se resta el total entre paréntesis.
En A·X = B la solución es A-1·B, no B·A-1. Como el producto de matrices no es conmutativo, las dos matrices son distintas, y la respuesta queda mal aunque la inversa esté bien calculada. La inversa entra por el lado por el que A toca a X: si la toca por la izquierda, por la izquierda en los dos miembros.
A una matriz no se le puede sumar un número. Al sacar X factor común en A·X + X, la X suelta es I·X, y lo que queda es (A + I)·X. Además, el lado importa: A·X + X = (A + I)·X, con X a la derecha, pero X·A + X = X·(A + I), con X a la izquierda.
Nivel 1 gratis
¿Sabes qué decide cada cosa antes de ponerte a calcular? Cuándo se puede usar la regla de Cramer, qué columna se cambia en cada determinante, qué semiplano cumple una inecuación y por qué lado entra la inversa al despejar una matriz. Se contesta marcando.
Hacer el test de Cramer, inecuaciones y ecuaciones matriciales →La regla · 10 preguntas · 5 minutos
Los dos llegan a la misma solución. Cramer obliga a calcular cuatro determinantes de orden 3; Gauss escalona el sistema una vez y despeja de abajo arriba. Si el enunciado no pide un método concreto, se puede elegir: los criterios de corrección de Aragón de 2024, convocatoria ordinaria, reparten la puntuación tanto para Gauss como para Cramer. El método de Gauss está explicado en la página de sistemas y programación lineal.
Depende de la comunidad. Andalucía y Madrid la incluyen en sus contenidos para la PAU de 2026 con la misma frase: regla de Cramer para la resolución de sistemas compatibles, determinados o indeterminados, de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas. El currículo estatal no la nombra, así que en otras comunidades puede no estar. Lo que manda es el documento oficial de tu comunidad.
Todo esto desarrollado paso a paso, con los trucos que ahorran tiempo, los errores señalados donde se cometen y ejercicios tipo PAU resueltos. Ya se puede descargar gratis en PDF desde el temario de Matemáticas CCSS.