Tema 1.1 · Álgebra · Matemáticas CCSS
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El método, en corto
Cada paso, explicado y con sus trampas, más abajo.
En Matemáticas CCSS las matrices no se estudian por sí mismas: se estudian como una forma de ordenar datos. Los enunciados de selectividad de CCSS hablan de precios de hoteles, de unidades vendidas o de costes por fábrica, te dan dos tablas y te piden combinarlas. Por eso el ejercicio se juega antes de calcular nada: en colocar bien las filas y las columnas para que el producto tenga sentido. El determinante llega después, y sirve sobre todo para saber si una matriz tiene inversa.
El enfoque es distinto al de Matemáticas II: aquí las matrices se usan para ordenar datos con contexto.
Dos tablas —por ejemplo precios por tipo de habitación y número de habitaciones reservadas— que hay que multiplicar para sacar el gasto total. Lo difícil no es el producto: es decidir cuál va primero y cómo se colocan las filas y las columnas para que las dimensiones encajen y el resultado signifique algo.
Después del cálculo se puede pedir qué representa cada número del resultado. Es un apartado con puntos propios, y se contesta en dos líneas.
Determinantes de orden dos y tres, y la inversa a partir de ellos. El determinante es el que decide: si vale cero, no hay inversa y el problema va por otro lado.
Despejar una matriz incógnita multiplicando por la inversa. Se trabaja con matrices más pequeñas que en Matemáticas II, pero el procedimiento es idéntico.
El rango es la puerta al tema siguiente: con él se discute cuántas soluciones tiene un sistema.
El producto de matrices no es conmutativo: A·B y B·A no dan lo mismo, y a veces uno de los dos ni existe. En un problema con tablas, el orden se decide leyendo qué son las filas y las columnas, antes de hacer ninguna cuenta.
Al pasar cada tabla a matriz, escribe al lado qué es cada fila y qué es cada columna: vendedores por actividades, actividades por euros, fábricas por productos. Es lo que luego dice en qué orden se multiplica.
Se multiplica fila de la primera por columna de la segunda, así que las columnas de la primera y las filas de la segunda tienen que ser lo mismo, en número y en significado. (vendedores × actividades) · (actividades × euros) da vendedores × euros: la palabra repetida queda en medio y desaparece. Si el número de columnas de la primera no coincide con el de filas de la segunda, el producto no existe.
El elemento de la fila i y la columna j es la suma de los productos de la fila i de la primera por la columna j de la segunda. Si la primera es horas por vendedor y la segunda euros por hora, ese número son los euros que cobra el vendedor i. El apartado de interpretar tiene puntos propios y se contesta en dos líneas.
Pasa una de dos cosas: o las dimensiones no encajan y no hay producto, o encajan pero el resultado mezcla cosas que no se suman, como las horas de un vendedor con las demostraciones de otro. Que la cuenta se pueda hacer no quiere decir que signifique algo.
En CCSS aparece en los ejercicios para dos cosas: saber si una matriz tiene inversa y saber si un sistema tiene una solución única.
El determinante es un número que se calcula a partir de la matriz, y lo único que hace falta saber de él en la práctica es si vale cero o no. Si no vale cero, la matriz tiene inversa y se puede despejar. Si vale cero, no la tiene y hay que replantear el ejercicio.
Al escribir un sistema de ecuaciones en forma de matriz, si el determinante de los coeficientes no es cero, el sistema tiene una solución única. Si es cero, puede no tener ninguna o tener infinitas, y para saber cuál de las dos hay que comparar los rangos de la matriz de coeficientes y de la ampliada: es lo que se llama discutir el sistema.
En orden dos, el producto de la diagonal principal menos el de la otra. En orden tres, por la regla de Sarrus o desarrollando por los adjuntos de una fila. Con matrices más grandes no se trabaja en CCSS.
Enunciado de la PAU de Andalucía 2025, convocatoria ordinaria, ejercicio 1 (la matriz del apartado b, que en el examen va dibujada, se escribe aquí por filas): «a) (1.75 puntos) Plantee y resuelva el siguiente problema de forma matricial: El gerente de una empresa de productos hospitalarios desea introducir un nuevo producto en el mercado nacional. Para ello contrata a 3 vendedores que se han encargado de las zonas A, B y C del país, respectivamente. El vendedor de la zona A ha trabajado 40 horas, ha realizado 10 demostraciones y 5 viajes para dicha promoción. El vendedor de la zona B ha trabajado el doble de horas que el de la zona A, realizando 15 demostraciones y 8 viajes. En cuanto al vendedor de la zona C, ha trabajado 100 horas, ha realizado 25 demostraciones y 10 viajes. El gerente debe abonarles 75€ por hora trabajada, 300€ por demostración y 250€ por viaje realizado. Teniendo en cuenta que, además, debe aplicárseles una retención en concepto del impuesto del IRPF del 15% si la cantidad a abonar al vendedor es menor de diez mil euros y del 18% en caso contrario, determine la cantidad final que cobrará cada vendedor. b) (0.75 puntos) Sea A = [filas (−2, 2, 1), (3, a − 1, 2), (4, 0, 3)]. ¿Para qué valores de a es la matriz A invertible?» Los criterios oficiales del apartado a dan hasta 0,75 puntos por las matrices del planteamiento y hasta 1 por las matrices solución.
Filas: vendedores A, B y C. Columnas: horas, demostraciones y viajes. El de la zona B trabajó el doble de horas que el de la A, 2 · 40 = 80. Queda V, de tamaño 3 × 3, con filas (40, 10, 5), (80, 15, 8) y (100, 25, 10).
P es la columna de lo que se paga por cada actividad: 75 € por hora, 300 € por demostración y 250 € por viaje. Tamaño 3 × 1. Sus filas son las actividades, lo mismo que las columnas de V.
V · P es (vendedores × actividades) · (actividades × euros): 3 × 3 por 3 × 1, encaja y da 3 × 1, un importe por vendedor. P · V es 3 × 1 por 3 × 3 y no existe. Y la traspuesta de P por V sí se puede calcular (1 × 3 por 3 × 3), pero su primer número, 75 · 40 + 300 · 80 + 250 · 100, mezcla las horas del vendedor A con las demostraciones del B y los viajes del C: es el fallo del orden explicado arriba, una cuenta posible que no significa nada.
Vendedor A: 40 · 75 + 10 · 300 + 5 · 250 = 3000 + 3000 + 1250 = 7250. Vendedor B: 80 · 75 + 15 · 300 + 8 · 250 = 6000 + 4500 + 2000 = 12500. Vendedor C: 100 · 75 + 25 · 300 + 10 · 250 = 7500 + 7500 + 2500 = 17500. V · P es la columna (7250, 12500, 17500): lo que hay que abonar a cada vendedor antes de la retención, en euros.
A cobra 7250 €, menos de diez mil: se le retiene el 15 % y le queda el 85 %, factor 0,85. B y C no bajan de diez mil: retención del 18 %, factor 0,82. Con la matriz diagonal R, de diagonal (0,85, 0,82, 0,82) y ceros fuera, R · (V · P) multiplica cada fila por su factor: 0,85 · 7250 = 6162,5; 0,82 · 12500 = 10250; 0,82 · 17500 = 14350. Comprobación restando: 7250 − 1087,5 = 6162,5; 12500 − 2250 = 10250; 17500 − 3150 = 14350.
El vendedor de la zona A cobrará 6162,50 €, el de la zona B 10250 € y el de la zona C 14350 €. Es la frase que interpreta la matriz solución: sin ella quedan tres números sueltos.
Productos que suman: (−2) · (a − 1) · 3 = −6a + 6; 2 · 2 · 4 = 16; 1 · 3 · 0 = 0. Productos que restan: 1 · (a − 1) · 4 = 4a − 4; (−2) · 2 · 0 = 0; 2 · 3 · 3 = 18. |A| = (−6a + 6 + 16 + 0) − (4a − 4 + 0 + 18) = (−6a + 22) − (4a + 14) = −10a + 8.
A es invertible si y solo si |A| ≠ 0. −10a + 8 = 0 da a = 8/10 = 4/5. Resultado: a) A cobra 6162,50 €, B 10250 € y C 14350 €; b) A es invertible para cualquier valor real de a distinto de 4/5 (0,8).
Varios vienen de operar con matrices como si fueran números, cuando el producto de matrices tiene reglas propias y el orden de los factores importa.
A2 es A·A, y se calcula como cualquier producto: fila por columna. Con la matriz de filas (1, 2) y (3, 0), A2 tiene filas (7, 2) y (3, 6); elevando cada número al cuadrado saldría (1, 4) y (9, 0), que no tiene nada que ver. Y como es un producto de A por sí misma, solo existe si A es cuadrada.
Al multiplicar (A + B)·(A + B) salen A2 + A·B + B·A + B2, y A·B y B·A no se pueden juntar porque en general son distintas. Solo se escribe 2AB si se sabe que A·B = B·A. Lo mismo pasa con (A + B)·(A − B), que no es A2 − B2.
La traspuesta de A·B es Bt·At, no At·Bt. Las dimensiones lo confirman: si A es 2×3 y B es 3×4, A·B es 2×4 y su traspuesta es 4×2. Bt·At es 4×3 por 3×2, que da 4×2; At·Bt sería 3×2 por 4×3, que ni se puede multiplicar.
La regla rápida para una matriz de orden 2 es intercambiar los dos elementos de la diagonal principal, cambiar de signo los otros dos y dividir todo entre el determinante. Cambiar el signo a los de la diagonal en vez de a los otros da una matriz equivocada. Se detecta multiplicando A por la inversa que ha salido: tiene que dar la identidad, y con ese fallo sale la identidad cambiada de signo.
La inversa es la traspuesta de la matriz de adjuntos dividida entre el determinante. Si se divide la matriz de adjuntos sin trasponerla, el resultado solo coincide cuando esa matriz es simétrica; en los demás casos, la inversa queda mal. Los criterios de corrección de Aragón de 2024, por ejemplo, reservan una parte de la nota a trasponer y llegar al resultado final, así que saltárselo cuesta puntos aunque los adjuntos estén bien calculados.
Al escalonar se pueden intercambiar filas, multiplicar una fila por un número distinto de cero y sumarle a una fila un múltiplo de otra. Multiplicar por cero no está permitido: borra la información de esa fila y el rango puede bajar sin que la matriz lo tenga más bajo de verdad.
Nivel 1 gratis
¿Sabes qué se puede hacer con matrices antes de ponerte a operar? Cuándo existe un producto y qué tamaño tiene, por qué A·B no es B·A, qué es una potencia de una matriz, cómo se traspone un producto y cuándo una matriz tiene inversa. Se contesta marcando.
Hacer el test de Matrices y determinantes →La regla · 10 preguntas · 5 minutos
Depende de la comunidad. El currículo estatal de Matemáticas Aplicadas a las CCSS II habla de sumar y multiplicar matrices y de usarlas para representar sistemas, pero no nombra los determinantes. Andalucía sí los pide: sus orientaciones para 2025-2026 incluyen determinantes hasta de orden 3 para el rango y la inversa. La matriz de especificaciones de Castilla y León para la PAU de 2025, en cambio, no los nombra. Conviene mirarlo en el documento oficial de tu comunidad.
El cálculo es el mismo, pero el enfoque no. En CCSS los problemas llegan con contexto —precios, ventas, costes— y hay puntos por interpretar el resultado. En Matemáticas II los ejercicios son más abstractos y con matrices más grandes.
Todo esto desarrollado paso a paso, con los trucos que ahorran tiempo, los errores señalados donde se cometen y ejercicios tipo PAU resueltos. Ya se puede descargar gratis en PDF desde el temario de Matemáticas CCSS.