Tema 1.2 · Álgebra · Matemáticas CCSS
Este tema son dos cosas encadenadas. Primero, resolver sistemas de ecuaciones por el método de Gauss y saber clasificarlos según tengan una solución, infinitas o ninguna. Y segundo, la programación lineal: problemas con enunciado real —cuántas unidades fabricar, cuántos camiones enviar, cómo repartir un presupuesto— en los que hay que traducir el texto a inecuaciones, dibujar la zona que cumple todas y buscar en qué esquina de esa zona se gana más o se gasta menos. Es de los ejercicios mejor pagados de la PAU de CCSS, porque el procedimiento es siempre el mismo y la dificultad está casi entera en el planteamiento.
Tres ideas que hay que tener claras antes de dibujar nada.
Cada limitación del enunciado —el material disponible, las horas de trabajo, un mínimo de pedidos— se escribe como una inecuación. Y casi siempre hay dos que no aparecen escritas en el texto pero existen: que las dos variables sean mayores o iguales que cero, porque no se fabrican unidades negativas.
Es la zona del plano donde se cumplen todas las restricciones a la vez, es decir, la intersección de todos los semiplanos. Si esa zona es cerrada, tiene vértices y hay solución segura. Si es abierta, puede no haber máximo, aunque sí mínimo, o al revés.
La función objetivo es lo que se quiere hacer máximo o mínimo: el beneficio, el coste, el número de personas. Su valor óptimo dentro de una región factible cerrada se alcanza siempre en un vértice. Por eso no hace falta probar infinitos puntos: basta calcular las coordenadas de cada vértice y evaluar la función en todos ellos.
Seis pasos, siempre los mismos. En el examen conviene escribirlos numerados: la mayor parte de la nota está repartida en el camino, no en el resultado.
Escribir con todas las letras qué es x y qué es y, con sus unidades. Parece perder tiempo y es justo lo contrario: casi todos los ejercicios que se tuercen se tuercen aquí, y los correctores puntúan este paso.
La expresión que hay que maximizar o minimizar, y decir cuál de las dos cosas es. Un problema de costes se minimiza; uno de beneficios o de ingresos se maximiza. Confundirlo da el vértice contrario.
Una inecuación por cada limitación del enunciado, más las de no negatividad. Hay que vigilar el sentido de la desigualdad: como máximo es menor o igual, al menos es mayor o igual.
Se representa cada recta y se decide qué lado cumple la inecuación, probando con un punto sencillo, normalmente el origen. La zona común a todas es la región factible, y conviene sombrearla con claridad.
Cada vértice es el corte de dos rectas, así que sale de resolver un sistema de dos ecuaciones. Hay que hacerlo con cuentas, no leyendo el dibujo a ojo: un vértice sacado del gráfico casi nunca tiene las coordenadas exactas.
Se sustituye cada vértice en la función objetivo y se elige el que da el valor mayor o menor según lo pedido. La respuesta final se escribe con el contexto del enunciado y sus unidades, no como un par de números sueltos.
La otra mitad del tema son los sistemas de ecuaciones. El método de Gauss consiste en ir combinando filas hasta dejar el sistema en forma escalonada, con ceros por debajo de la diagonal, y despejar de abajo arriba. Lo que se pregunta después es la clasificación, y se decide leyendo la última fila: si queda una ecuación normal, el sistema es compatible determinado y tiene una única solución; si queda una fila entera de ceros, es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones que se expresan con un parámetro; y si queda algo imposible, del tipo cero igual a un número distinto de cero, el sistema es incompatible y no tiene solución. Esa lectura de la última fila es lo que hay que dominar, porque es la pregunta que se repite.
Si no escribes que x e y son mayores o iguales que cero, la región factible se extiende a zonas del plano que no tienen ningún sentido en el problema, y el vértice óptimo puede salir en una de ellas. Es el error más frecuente del tema y el más fácil de evitar.
El gráfico sirve para ver la forma de la región, no para medir. Cada vértice hay que calcularlo resolviendo el sistema de las dos rectas que se cortan ahí. Un vértice aproximado arrastra el error hasta la respuesta final.
Como mucho, no más de y hasta un máximo de son menor o igual. Al menos, como mínimo y a partir de son mayor o igual. Una sola cambiada da otra región y otro resultado, y el ejercicio entero sigue coherente, así que no salta ninguna alarma.
Si el problema habla de sillas, camiones o personas, la solución tiene que ser un número entero y positivo. Un resultado de 12,4 mesas indica que hay que revisar, o que el enunciado pide interpretar el valor entero más cercano que siga cumpliendo las restricciones.
El ejercicio pide una decisión, no unas coordenadas. Hay que cerrar con una frase que diga qué se fabrica, cuánto se gana o cuánto se gasta, y con qué unidades. Es un punto que se regala en cada convocatoria.
Todo esto desarrollado paso a paso, con los trucos que ahorran tiempo, los errores señalados donde se cometen y ejercicios resueltos de convocatorias reales. Disponible a partir del 9 de septiembre.
Sin publicidad de nadie más y con baja en un clic.