Tema 1.2 · Álgebra · Matemáticas CCSS
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El método, en corto
Cada paso, explicado y con sus trampas, más abajo.
Este tema son dos cosas encadenadas. Primero, resolver sistemas de ecuaciones por el método de Gauss y saber clasificarlos según tengan una solución, infinitas o ninguna. Y segundo, la programación lineal: problemas con enunciado real —cuántas unidades fabricar, cuántos camiones enviar, cómo repartir un presupuesto— en los que hay que traducir el texto a inecuaciones, dibujar la zona que cumple todas y buscar en qué esquina de esa zona se gana más o se gasta menos. El procedimiento es siempre el mismo, y la dificultad está casi entera en el planteamiento.
Tres ideas que hay que tener claras antes de dibujar nada.
Cada limitación del enunciado —el material disponible, las horas de trabajo, un mínimo de pedidos— se escribe como una inecuación. Y hay dos que el texto no escribe pero existen: que las dos variables sean mayores o iguales que cero, porque no se fabrican unidades negativas.
Es la zona del plano donde se cumplen todas las restricciones a la vez, es decir, la intersección de todos los semiplanos. Si esa zona es acotada y no vacía, tiene vértices y hay solución segura. Si es no acotada, puede no haber máximo, aunque sí mínimo, o al revés.
La función objetivo es lo que se quiere hacer máximo o mínimo: el beneficio, el coste, el número de personas. Su valor óptimo dentro de una región factible acotada se alcanza siempre en un vértice. Por eso no hace falta probar infinitos puntos: basta calcular las coordenadas de cada vértice y evaluar la función en todos ellos.
Seis pasos, siempre los mismos. En el examen conviene escribirlos numerados: la nota está repartida en el camino, no solo en el resultado.
Escribir con todas las letras qué es x y qué es y, con sus unidades. Parece perder tiempo y es justo lo contrario: si x e y no quedan claras, el planteamiento se tuerce desde aquí, y los correctores puntúan este paso.
La expresión que hay que maximizar o minimizar, y decir cuál de las dos cosas es. Un problema de costes se minimiza; uno de beneficios o de ingresos se maximiza. Confundirlo da el vértice contrario.
Una inecuación por cada limitación del enunciado, más las de no negatividad. Hay que vigilar el sentido de la desigualdad: como máximo es menor o igual, al menos es mayor o igual.
Se representa cada recta y se decide qué lado cumple la inecuación, probando con un punto sencillo, normalmente el origen. La zona común a todas es la región factible, y conviene sombrearla con claridad.
Cada vértice es el corte de dos rectas, así que sale de resolver un sistema de dos ecuaciones. Hay que hacerlo con cuentas, no leyendo el dibujo a ojo: un vértice sacado del gráfico no tiene por qué tener las coordenadas exactas.
Se sustituye cada vértice en la función objetivo y se elige el que da el valor mayor o menor según lo pedido. La respuesta final se escribe con el contexto del enunciado y sus unidades, no como un par de números sueltos.
La mitad del problema es pasar las frases del enunciado a desigualdades. Estas son las que dan más guerra.
Todo lo que pone un límite por arriba es menor o igual. «Puede fabricar como máximo 12 unidades de A» es x ≤ 12, y «dispone de 600 kg de materia prima», si cada unidad de A gasta 10 kg y cada una de B gasta 30, es 10x + 30y ≤ 600.
Lo que pone un suelo es mayor o igual. «Hay que servir al menos 50 pedidos» es x + y ≥ 50. Las variables, además, nunca bajan de cero: x ≥ 0 e y ≥ 0 se escriben aunque el enunciado no lo diga.
Si x son las unidades de A e y las de B, que A sea al menos el doble de B se escribe x ≥ 2y: el 2 multiplica a la cantidad pequeña, la de B. El fallo es escribir 2x ≥ y. Se descubre probando números: con y = 10, A tiene que llegar por lo menos a 20. x = 20 cumple x ≥ 2y (20 ≥ 20), pero x = 5 también cumpliría 2x ≥ y (10 ≥ 10), y 5 no es el doble de 10.
Al revés que la anterior: «A no puede superar el doble de B» es x ≤ 2y. Y «por lo menos tantos de A como de B» es x ≥ y. Para dibujarlas se pasan a la forma x − 2y ≤ 0 o x − y ≥ 0 y se representan como cualquier otra recta. Como pasan por el origen, el lado bueno se elige probando con un punto que no esté en ella, como (1, 0).
Enunciado de la PAU de Andalucía 2026, convocatoria ordinaria, ejercicio 1, opción B (3 puntos): «Una empresa maderera fabrica tableros de dos tipos, DM y aglomerado, a partir de madera triturada. Para producir 1 m2 de tablero DM se consumen 10 m3 de madera triturada y se obtiene un beneficio de 10€. Para producir 1 m2 de tablero aglomerado se consumen 30 m3 de madera triturada y se obtiene un beneficio de 20€. La empresa puede fabricar diariamente como máximo 12 m2 de tableros DM y 18 m2 de tableros de aglomerado. Además, la capacidad total de la empresa limita la producción conjunta a 26 m2 diarios y dispone de 600 m3 de madera triturada al día. Determine cuántos metros cuadrados de cada tipo de tablero deben producirse diariamente para maximizar el beneficio total y calcule cuál es ese beneficio.» Los criterios oficiales dan hasta 1,25 puntos por el planteamiento, hasta 1 por la representación y hasta 0,75 por la resolución.
x = metros cuadrados de tablero DM que se fabrican al día; y = metros cuadrados de tablero aglomerado al día. Como son cantidades fabricadas, x ≥ 0 e y ≥ 0: el enunciado no lo escribe, y olvidarlo es el primer error típico de la lista de abajo.
Cada metro cuadrado de DM deja 10 € y cada uno de aglomerado, 20 €, así que el beneficio diario es B(x, y) = 10x + 20y. Es un beneficio, luego se maximiza.
«Como máximo 12 m2 de DM»: x ≤ 12. «Y 18 m2 de aglomerado»: y ≤ 18. «Limita la producción conjunta a 26 m2»: x + y ≤ 26. La madera: x metros de DM gastan 10x m3 y y metros de aglomerado gastan 30y, y no pueden pasar de 600, así que 10x + 30y ≤ 600; dividiendo entre 10, x + 3y ≤ 60. Más x ≥ 0 e y ≥ 0. Las cuatro primeras son menor o igual porque todas son topes («como máximo», «limita», «dispone de»): aquí es donde un sentido cambiado da otra región sin que nada avise.
x = 12 es una recta vertical e y = 18, una horizontal. x + y = 26 corta los ejes en (26, 0) y (0, 26), y x + 3y = 60 en (60, 0) y (0, 20). El origen cumple las cuatro (0 ≤ 12, 0 ≤ 18, 0 ≤ 26 y 0 ≤ 60), así que en cada recta vale el lado del origen. La región es un polígono de seis lados en el primer cuadrante: sube por el eje Y hasta y = 18, sigue por esa horizontal, baja por las dos rectas oblicuas (primero la de la madera y después la de la capacidad), luego por la vertical x = 12 y vuelve al origen por el eje X. Es acotada, así que el máximo existe y está en un vértice.
Cada vértice es el corte de dos rectas y se saca resolviendo su sistema, no mirando el dibujo (segundo error de la lista). O = (0, 0). A: x = 12 con y = 0, (12, 0). B: x = 12 con x + y = 26, y = 26 − 12 = 14, (12, 14). C: x + y = 26 con x + 3y = 60; restando la primera de la segunda, 2y = 34, y = 17, y x = 26 − 17 = 9, (9, 17). D: y = 18 con x + 3y = 60, x = 60 − 54 = 6, (6, 18). E: x = 0 con y = 18, (0, 18). Hay cortes de rectas que caen fuera y no son vértices, por ejemplo: (12, 18) da x + y = 30 > 26; (12, 16), de x = 12 con la madera, da 28 > 26; y (8, 18), de y = 18 con x + y = 26, gasta 8 + 54 = 62 > 60.
B(0, 0) = 0. B(12, 0) = 120. B(12, 14) = 120 + 280 = 400. B(9, 17) = 90 + 340 = 430. B(6, 18) = 60 + 360 = 420. B(0, 18) = 360. El mayor es 430, en (9, 17), y solo en ese vértice.
Hay que producir cada día 9 m2 de tablero DM y 17 m2 de tablero aglomerado, y el beneficio máximo es de 430 €. Comprobación: se usa toda la capacidad (9 + 17 = 26 m2) y toda la madera (90 + 510 = 600 m3), y no se llega a ninguno de los dos topes por tipo. Dejarlo en «(9, 17)» es el último error de la lista: el enunciado pide metros cuadrados y euros.
Si la región se abre hacia el infinito, el óptimo puede no existir, y hay que decidirlo antes de escribir la respuesta.
La que no cabe dentro de ningún rectángulo: por algún lado se extiende sin fin. Aparece cuando faltan topes: si, aparte de x ≥ 0 e y ≥ 0, todas las restricciones son de mínimos, del tipo x + y ≥ 10, la región deja fuera la zona del origen y queda abierta hacia arriba y hacia la derecha.
Con x ≥ 0, y ≥ 0 y los dos coeficientes de la función objetivo positivos, como pasa con un coste: si la región es no acotada, la función crece sin límite al alejarse, así que no hay máximo; pero nunca baja de cero, así que el mínimo sí existe y está en un vértice. Por eso los problemas de minimizar costes con regiones abiertas tienen solución.
Se evalúa la función en todos los vértices y además en un punto de la región muy alejado de los vértices, por ejemplo (100, 100) si está dentro. Si ese punto da más que todos los vértices, no hay máximo, porque si lo hubiera estaría en un vértice. Con las rectas de nivel se ve lo mismo: si la recta de la función puede desplazarse sin fin en el sentido en que crece sin salir de la región, no hay máximo.
Que la región es no acotada; si es el caso, que la función no tiene máximo porque crece sin límite; y el mínimo, con su vértice y su valor. Dar el mayor de los vértices como máximo en una región abierta es un resultado equivocado aunque las cuentas estén bien.
La otra mitad del tema son los sistemas de ecuaciones. El método de Gauss consiste en ir combinando filas hasta dejar el sistema en forma escalonada, con ceros por debajo de la diagonal, y despejar de abajo arriba. Después hay que clasificarlo, y en un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas se decide leyendo la última fila: si queda una ecuación normal, el sistema es compatible determinado y tiene una única solución; si queda una fila entera de ceros, es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones que se expresan con un parámetro; y si queda algo imposible, del tipo cero igual a un número distinto de cero, el sistema es incompatible y no tiene solución. Esa lectura de la última fila es lo que hay que dominar.
Si no escribes que x e y son mayores o iguales que cero, la región factible se extiende a zonas del plano que no tienen ningún sentido en el problema, y el vértice óptimo puede salir en una de ellas. Es un error fácil de evitar.
El gráfico sirve para ver la forma de la región, no para medir. Cada vértice hay que calcularlo resolviendo el sistema de las dos rectas que se cortan ahí. Un vértice aproximado arrastra el error hasta la respuesta final.
Como mucho y no más de son menor o igual; al menos y como mínimo, mayor o igual. Y en las comparaciones, el doble va multiplicando a la cantidad pequeña, no a la grande. Una sola desigualdad cambiada da otra región y otro resultado, y el ejercicio entero sigue coherente, así que no salta ninguna alarma: la única defensa es probar cada inecuación con números antes de dibujarla.
Si el problema habla de sillas, camiones o personas, la solución tiene que ser un número entero y positivo. Un resultado de 12,4 mesas indica que hay que revisar, o que el enunciado pide interpretar el valor entero más cercano que siga cumpliendo las restricciones.
El ejercicio pide una decisión, no unas coordenadas. Hay que cerrar con una frase que diga qué se fabrica, cuánto se gana o cuánto se gasta, y con qué unidades. Dejarla sin escribir es regalar puntos.
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¿Sabes cómo se pasa un enunciado a ecuaciones o a restricciones antes de calcular nada? Qué es cada incógnita, qué desigualdad corresponde a «como mínimo» o «como mucho», qué restricciones no dice el enunciado pero están, dónde está el óptimo y qué hay que contestar al final. Se contesta marcando.
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Probando con un punto que no esté en la recta, normalmente el origen. Si ese punto cumple la inecuación, el semiplano bueno es el suyo; si no la cumple, es el otro. Cuando la recta pasa por el origen, como x − 2y = 0, el origen no sirve porque está encima: se prueba con otro punto, por ejemplo (1, 0), o (0, 1) si la recta es el propio eje X.
Sí. Si dos vértices seguidos dan el mismo valor óptimo, también lo dan todos los puntos del lado que los une, y hay infinitas soluciones. Pasa cuando la función objetivo es paralela a ese lado. En la respuesta se dan los dos vértices y se dice que vale cualquier punto del segmento entre ellos.
El que tiene infinitas soluciones. Se expresan dejando una incógnita como parámetro y escribiendo las demás en función de ella. En los enunciados con contexto hay que añadir además qué valores del parámetro tienen sentido.
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