Tema 1.3 · Álgebra · Matemáticas II
El ejercicio de sistemas tiene dos caras: resolver uno con números, que es mecánico, y discutir uno que depende de un parámetro, que es otra cosa. Esta segunda es la que da trabajo: no se trata de despejar sino de decidir cuántas soluciones hay en cada caso, que es una pregunta distinta y se responde con dos rangos. Lo bueno es que el guion no cambia de un examen a otro, así que se puede aprender entero y aplicarlo casi sin pensar. Aquí está ese guion, con el orden exacto de los pasos y lo que hay que decir en cada uno.
Determinante primero, rangos después. Se calcula el determinante de la matriz de coeficientes dejando el parámetro dentro, se iguala a cero y las raíces que salen son los casos críticos: normalmente uno o dos valores. Para todos los demás valores el determinante no es cero, así que el sistema es compatible determinado y se acabó ese caso en una línea. Y después se estudia cada valor crítico por separado, sustituyéndolo y mirando los dos rangos con Rouché. Ese orden importa: quien empieza sustituyendo valores a ojo o haciendo Gauss con la letra dentro acaba con expresiones imposibles y sin saber qué está buscando.
Cuatro pasos. El cuarto es el único que da trabajo, y solo se aplica a uno o dos valores.
Con el parámetro dentro, sin sustituir nada. Sale un polinomio en la letra. Aquí conviene desarrollar por la fila o la columna que más ceros tenga, porque cada término que se evita es un sitio menos donde equivocarse, y todo el ejercicio depende de que este polinomio esté bien.
Las soluciones de esa ecuación son los casos críticos, que suelen ser uno o dos valores concretos. Todo lo que venga después se organiza alrededor de ellos, así que conviene escribirlos en grande y comprobarlos sustituyendo antes de seguir.
Para cualquier valor que no anule el determinante, el rango de la matriz de coeficientes es el máximo, coincide con el de la ampliada y con el número de incógnitas: sistema compatible determinado, solución única. Se escribe así, con la condición delante, y ya está despachado el caso general.
Se sustituye el valor en el sistema y se calculan los dos rangos, el de la matriz de coeficientes y el de la ampliada. Si coinciden es compatible indeterminado, con infinitas soluciones; si no coinciden es incompatible y no hay ninguna. Este es el único paso donde hay que trabajar de verdad, y son uno o dos casos.
A es la matriz de coeficientes, A* la ampliada con la columna de términos independientes y n el número de incógnitas.
| Caso | Tipo de sistema | Soluciones | Qué se hace después |
|---|---|---|---|
| rg(A) = rg(A*) = n | Compatible determinado | Una sola | Se calcula con Cramer o terminando el Gauss |
| rg(A) = rg(A*) < n | Compatible indeterminado | Infinitas | Se pasan al otro lado n − rg(A) incógnitas y se deja la solución en función de ellas |
| rg(A) ≠ rg(A*) | Incompatible | Ninguna | Se termina ahí: no hay nada que resolver |
| Sistema cuadrado con |A| ≠ 0 | Compatible determinado | Una sola | Cramer directamente, sin calcular rangos |
| Sistema cuadrado con |A| = 0 | Todavía no se sabe | Hay que mirarlo | Es el caso crítico: se estudian los dos rangos |
| Sistema homogéneo | Siempre compatible | Al menos la trivial | Si el determinante es cero, además tiene infinitas |
Un sistema es homogéneo cuando todos los términos independientes son cero. Esa columna de ceros no puede subir el rango de la ampliada, así que los dos rangos coinciden siempre y el sistema nunca es incompatible: como mínimo tiene la solución con todas las incógnitas valiendo cero. La pregunta en un homogéneo nunca es si tiene solución, sino si tiene alguna distinta de esa.
La matriz ampliada lleva la columna de términos independientes pegada a la derecha, y es justo esa columna la que puede hacer que el rango suba y el sistema sea incompatible. Calcular los dos rangos sobre la misma matriz hace que coincidan siempre, y con eso la discusión entera queda mal.
Cramer divide entre el determinante de la matriz de coeficientes, así que solo vale cuando ese determinante no es cero. En un ejercicio con parámetro, aplicarlo en el valor crítico es dividir entre cero. El orden correcto es discutir primero y calcular después.
El apartado no está terminado si no se dice también qué pasa con todos los demás valores del parámetro. Suele ser una sola frase, la del caso general, pero es una parte de la respuesta y se puntúa. Es fácil dejársela con los casos críticos ya resueltos.
Si el sistema es compatible indeterminado, la respuesta no es un punto: es la solución en función de uno o más parámetros. Elegir un valor cualquiera y dar ese trío de números responde a otra pregunta, aunque cumpla las tres ecuaciones.
Un sistema homogéneo con todas las incógnitas valiendo cero sí tiene solución, y se llama solución trivial. No es lo mismo que un sistema incompatible, que no tiene ninguna. Es una confusión de vocabulario que cuesta el apartado de razonar.
Cuando el sistema depende de una letra, ponerse a escalonar con ella dentro obliga a dividir entre expresiones que pueden ser cero, que es exactamente lo que hay que averiguar. Con parámetro se empieza por el determinante; Gauss se deja para cuando la letra ya tiene un valor concreto.
Todo esto desarrollado paso a paso, con los trucos que ahorran tiempo, los errores señalados donde se cometen y ejercicios resueltos de convocatorias reales. Disponible a partir del 9 de septiembre.
Sin publicidad de nadie más y con baja en un clic.