Tema 3.3 · Geometría · Matemáticas II
El método, en corto
Cada paso, explicado y con sus trampas, más abajo.
Es el apartado donde se cobra todo lo anterior. Los ángulos salen del producto escalar, las áreas del producto vectorial y los volúmenes del producto mixto, así que no hay herramientas nuevas: hay que saber cuál toca en cada caso. Y hay una fórmula que conviene llevar sabida de memoria porque aparece en muchos apartados, sola o dentro de otro ejercicio: la distancia de un punto a un plano, que es sustituir el punto en la ecuación del plano y dividir por el módulo del vector normal.
Todos los ángulos van con valor absoluto en el numerador, para que salga siempre el ángulo agudo.
| Qué se calcula | Fórmula | Con qué vectores |
|---|---|---|
| Ángulo entre dos rectas | cos α = |u · v| / (|u|·|v|) | Los dos vectores directores |
| Ángulo entre dos planos | cos α = |n₁ · n₂| / (|n₁|·|n₂|) | Los dos vectores normales |
| Ángulo entre recta y plano | sen α = |v · n| / (|v|·|n|) | El director de la recta y el normal del plano |
| Distancia de un punto a un plano | d = |A·x₀ + B·y₀ + C·z₀ + D| / √A2 + B2 + C2 | El punto y la ecuación general del plano |
| Distancia de un punto a una recta | d = |AP × v| / |v| | A es un punto de la recta y v su director |
| Distancia entre dos rectas que se cruzan | d = |[u, v, AB]| / |u × v| | Los dos directores y un punto de cada recta |
| Área de un triángulo | Área = ½·|AB × AC| | Dos lados desde el mismo vértice |
| Volumen de un tetraedro | V = (1/6)·|[AB, AC, AD]| | Tres aristas desde el mismo vértice |
La de recta con plano es la única que va con seno, y no es un capricho: el ángulo se mide contra el plano, mientras que el vector normal es perpendicular a él, así que lo que sale del producto escalar es el complementario.
Uno de los ejercicios más repetidos del bloque, y sale siempre con los mismos tres pasos.
El vector normal del plano, que son los coeficientes A, B y C, se usa como vector director de esa recta. Con el punto que te dan y ese director, la recta queda escrita en paramétricas, que es la forma que hace falta después.
Se sustituyen las tres coordenadas paramétricas en la ecuación del plano y se despeja el parámetro. Al meter ese valor de vuelta en la recta sale el punto de corte, que es el pie de la perpendicular y el punto medio entre el original y su simétrico.
El punto de corte es exactamente el punto medio entre el punto de partida y el simétrico que buscas. Como el punto medio es la semisuma de los dos, se despeja el simétrico: dos veces el punto medio menos el punto de partida, coordenada a coordenada.
Recta con recta y plano con plano van con coseno. Recta con plano va con seno, porque el ángulo que se pide es el que forma la recta con el plano, y el vector normal es perpendicular a este. Aplicar el coseno da el ángulo complementario, que es un número perfectamente creíble y equivocado.
Sin valor absoluto en el numerador puede salir un coseno negativo y con él un ángulo obtuso. El ángulo entre dos rectas o entre dos planos se da siempre agudo, así que el valor absoluto no es opcional.
Abajo va el módulo del vector normal, es decir, la raíz de la suma de los cuadrados de A, B y C. No va el módulo del punto ni el término independiente. Es la fórmula que más se usa del bloque y por eso conviene tenerla escrita tal cual.
En el numerador se sustituye el punto en la ecuación del plano tal y como está escrita, con su D y su signo, y todo eso va en valor absoluto. Pasar la D al otro lado antes de sustituir cambia el resultado.
La fórmula del producto mixto solo vale para rectas que se cruzan. Si las rectas son paralelas, la distancia se calcula tomando un punto de una y hallando su distancia a la otra. Y si se cortan, la distancia es cero: no hay nada que calcular. Conviene estudiar antes la posición relativa.
Se sustituyen las coordenadas del punto en la ecuación general del plano, se toma el valor absoluto de lo que salga y se divide entre el módulo del vector normal, que es la raíz de A al cuadrado más B al cuadrado más C al cuadrado. Es sustituir y dividir, sin más pasos.
Porque el producto escalar se hace con el vector normal del plano, que es perpendicular a él. El ángulo que sale de esa cuenta es el que forma la recta con la normal, y el que piden es el complementario. Cambiar el coseno por el seno hace justamente esa conversión.
Se traza la recta perpendicular al plano que pasa por el punto, usando el normal como director; se halla el corte de esa recta con el plano; y como ese corte es el punto medio, el simétrico sale de multiplicar por dos el punto medio y restarle el punto de partida.
La idea es la misma, pero el plano perpendicular sustituye a la recta perpendicular: se traza el plano perpendicular a la recta que pasa por el punto, usando el director de la recta como normal del plano, se halla el corte con la recta y ese corte vuelve a ser el punto medio.
Cuando se cortan o cuando son coincidentes, porque tienen puntos en común. Por eso el primer paso de cualquier ejercicio de distancia entre rectas es estudiar la posición relativa: la fórmula del producto mixto solo tiene sentido si las rectas se cruzan.
Es el módulo del producto vectorial de los dos vectores que forman sus lados desde un mismo vértice. El triángulo que forman esos mismos dos vectores es la mitad, así que las dos preguntas se resuelven con la misma cuenta.
El volumen del paralelepípedo es el valor absoluto del producto mixto de los tres vectores, y el del tetraedro que forman esos mismos vectores es una sexta parte. Es el mismo determinante y solo cambia el factor de delante.
No hace falta un dibujo a escala, pero un esquema rápido ayuda a decidir qué se pide: si el punto está a un lado u otro del plano, si dos rectas se cruzan o se cortan, o cuál es el vértice desde el que conviene formar los vectores. Treinta segundos de esquema evitan plantear el ejercicio al revés.
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