Tema 3.2 · Geometría · Matemáticas II
El método, en corto
Cada paso, explicado y con sus trampas, más abajo.
Una recta queda determinada por un punto y un vector director; un plano, por un punto y un vector normal. Con esos cuatro datos se escribe cualquier ecuación y se resuelve cualquier posición relativa, que es lo que más se pregunta del bloque. La clave que ahorra más tiempo está en la ecuación general del plano: los coeficientes que acompañan a x, y y z son directamente las coordenadas de su vector normal.
Cuatro posibilidades y un orden que no falla. Lo primero descarta la mitad de los casos en diez segundos.
Si lo son, las dos rectas llevan la misma dirección, así que o son paralelas o son la misma. Si no lo son, las direcciones son distintas y ya sabes que se cortan o se cruzan. Esta comprobación se hace a ojo dividiendo coordenada a coordenada, y descarta la mitad de los casos antes de calcular nada.
Coge un punto de la primera recta y mira si pertenece a la segunda, sustituyéndolo en su ecuación. Si pertenece, las rectas son coincidentes: son la misma recta escrita de dos maneras. Si no pertenece, son paralelas.
Se hace el producto mixto de los dos vectores directores y del vector que une un punto de cada recta. Es un determinante de orden tres, y su valor decide el caso que queda.
Si el producto mixto vale cero, las tres direcciones están en el mismo plano y las rectas se cortan en un punto. Si no vale cero, las rectas se cruzan: no se cortan y tampoco son paralelas, que es el caso que solo existe en el espacio y el que más se falla.
Todas las formas de la recta contienen lo mismo: un punto y un vector director. Pasar de una a otra es identificar esos dos elementos.
| Elemento | Forma | Qué hace falta |
|---|---|---|
| Recta, vectorial | (x, y, z) = (x₀, y₀, z₀) + λ·(v₁, v₂, v₃) | Un punto y un vector director |
| Recta, paramétricas | x = x₀ + λ·v₁ ; y = y₀ + λ·v₂ ; z = z₀ + λ·v₃ | La vectorial separada coordenada a coordenada |
| Recta, continua | (x − x₀)/v₁ = (y − y₀)/v₂ = (z − z₀)/v₃ | Despejar λ en las tres e igualar |
| Plano, general | A·x + B·y + C·z + D = 0 | A, B y C son el vector normal del plano |
| Plano por tres puntos | Se forman dos vectores y su producto vectorial da el normal | Tres puntos no alineados |
| Recta por dos puntos | El vector director es el que va de uno al otro | Dos puntos distintos |
El dato que más tiempo ahorra de todo el bloque: si el plano es A·x + B·y + C·z + D = 0, su vector normal es (A, B, C). Para hallar la recta perpendicular a ese plano, ese es directamente el vector director.
Una recta y un plano solo pueden estar de tres maneras: la recta corta al plano en un punto, es paralela a él, o está contenida dentro. Y se decide con una sola cuenta: el producto escalar del vector director de la recta por el vector normal del plano. Si no vale cero, la recta corta al plano, y el punto se halla escribiendo la recta en paramétricas, sustituyendo x, y y z en la ecuación del plano, despejando el parámetro y volviendo a sustituirlo en la recta. Si vale cero, la recta es paralela al plano o está contenida en él, y para distinguirlo se coge un punto de la recta y se mira si cumple la ecuación del plano: si la cumple, está contenida; si no, es paralela.
El director marca la dirección de la recta y va a lo largo de ella. El normal es perpendicular al plano. Intercambiarlos da el resultado justo del revés: una recta paralela donde tenía que ser perpendicular. Cuando el enunciado pide la recta perpendicular a un plano, el normal del plano pasa a ser el director de la recta, y ahí es donde se cruzan los dos conceptos.
En el plano, dos rectas o son paralelas o se cortan. En el espacio hay una tercera opción: cruzarse, sin cortarse y sin ser paralelas. Es el caso que más aparece y el que más se olvida, porque no existe en el dibujo mental que arrastramos de cursos anteriores.
Proporcionales no es parecidos: cada coordenada tiene que salir multiplicada por el mismo número. Si al dividir las tres parejas no sale siempre el mismo cociente, no son proporcionales, aunque los números se parezcan.
La recta se sustituye en el plano, no al revés. Y hay que sustituir las tres coordenadas paramétricas dentro de la ecuación del plano, no solo una. Lo que se despeja es el parámetro, y el punto sale al meter ese valor otra vez en la recta, que es el paso que la gente se salta creyendo que ya ha terminado.
Si alguna coordenada del vector director vale cero, la ecuación continua no se puede escribir tal cual, porque quedaría una división entre cero. En ese caso se usan las paramétricas, o se escribe esa coordenada aparte como una condición.
Cuatro: coincidentes, paralelas, secantes (se cortan en un punto) o que se cruzan. Las dos primeras tienen los directores proporcionales; las dos últimas no. Cruzarse es la que solo existe en el espacio y no en el plano.
Se forman dos vectores desde uno de los puntos hacia los otros dos, se hace su producto vectorial y el resultado es el vector normal. Con ese normal y uno cualquiera de los tres puntos ya sale la ecuación general del plano.
El vector normal del plano, que son los coeficientes A, B y C de su ecuación general, se toma como vector director de la recta. Con ese director y el punto que te dan, se escribe la recta en la forma que pidan.
En el plano, sustituyendo sus coordenadas en la ecuación general: si sale cero, pertenece. En la recta, sustituyendo en la continua o en las paramétricas y comprobando que sale el mismo valor del parámetro en las tres coordenadas. Que cuadre en dos y no en la tercera significa que no pertenece.
En la recta, despejando el parámetro en las tres ecuaciones e igualando, que es la ecuación continua. En el plano, a partir de un punto y dos vectores directores: el producto vectorial de los dos directores da el normal, y con el punto sale la general.
Las que se cortan tienen un punto en común y están en un mismo plano. Las que se cruzan no tienen ningún punto común y no hay ningún plano que las contenga a las dos. Se distinguen con el producto mixto de los dos directores y el vector que une un punto de cada una: cero, se cortan; distinto de cero, se cruzan.
No siempre. Si alguna componente del vector director es cero, esa fracción no tiene sentido y hay que dejar la recta en paramétricas, o escribir esa coordenada como una condición aparte. Es un detalle que se pregunta en las cuestiones cortas.
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