Tema 3.1 · Geometría · Matemáticas II
Las ideas, en corto
Cada una, desarrollada más abajo.
Todo el bloque de Geometría descansa sobre tres operaciones con vectores, y la mitad del trabajo es saber cuál toca. El producto escalar da un número y sirve para ángulos y para comprobar perpendicularidad. El producto vectorial da un vector perpendicular a los dos y su módulo es un área. El producto mixto da un número y su valor absoluto es un volumen. Si tienes claros esos tres, los ejercicios de rectas, planos, distancias y áreas se convierten en aplicar la herramienta que toca.
La tabla que resuelve la duda de cuál aplicar. La última columna es la que decide.
| Producto | Qué se obtiene | Cómo se calcula | Para qué sirve |
|---|---|---|---|
| Escalar | Un número | u₁·v₁ + u₂·v₂ + u₃·v₃ | Ángulos y comprobar si son perpendiculares |
| Vectorial | Un vector perpendicular a los dos | El determinante simbólico con i, j, k | Áreas, y vectores normales a un plano |
| Mixto | Un número | El determinante de las tres filas de coordenadas | Volúmenes y comprobar si son coplanarios |
| Módulo de un vector | Un número | √v₁2 + v₂2 + v₃2 | Longitudes y distancias |
| Vector entre dos puntos | Un vector | AB = B − A | El punto de partida de casi todos los ejercicios |
Las tres comprobaciones que más se piden salen de aquí: escalar cero quiere decir perpendiculares, vectorial cero quiere decir paralelos, y mixto cero quiere decir coplanarios.
Se calcula multiplicando coordenada a coordenada y sumando, y da un número. Su otra cara es que ese número vale el producto de los dos módulos por el coseno del ángulo, y de ahí se despeja el ángulo. Lo que más se usa en el examen es el caso particular: si el producto escalar vale cero, los dos vectores son perpendiculares. Con eso se buscan vectores perpendiculares, se comprueba que una recta es normal a un plano y se resuelve media pregunta de ángulos.
Da otro vector, y lo importante es que es perpendicular a los dos de partida. Por eso es la forma de encontrar el vector normal de un plano del que te dan dos direcciones. Y su módulo es el área del paralelogramo que forman los dos vectores, así que la mitad es el área del triángulo. Ojo con el orden: no es conmutativo, y cambiarlo cambia el sentido del vector, aunque el módulo, y por tanto el área, es el mismo.
Es el determinante de las tres filas de coordenadas, así que da un número. Su valor absoluto es el volumen del paralelepípedo que forman los tres vectores, y una sexta parte de eso es el volumen del tetraedro. Y tiene una lectura que cae mucho: si el producto mixto vale cero, los tres vectores están en el mismo plano, lo que sirve para comprobar si cuatro puntos son coplanarios.
El vector que va de A a B es el de llegada menos el de salida: B − A. Restarlos al revés da el vector opuesto. En un módulo no se nota, porque la longitud es la misma, pero en cuanto ese vector entra en un producto vectorial o en una posición relativa, el resultado cambia de sentido y arrastra todo lo demás.
Es el fallo de fondo del bloque. Si te piden un área o un vector perpendicular, es el vectorial. Si te piden un ángulo o comprobar una perpendicularidad, es el escalar. El escalar da un número y el vectorial un vector: si acabas con un número donde esperabas una dirección, has usado el que no era.
El módulo del producto vectorial es el área del paralelogramo. El triángulo es la mitad. Es medio segundo de escritura y se pierde el apartado entero por darlo por sabido.
El valor absoluto del producto mixto es el volumen del paralelepípedo. El del tetraedro es una sexta parte. Igual que el anterior: el planteamiento está bien y el número final está mal.
El producto mixto puede salir negativo, y no pasa nada: por eso se toma el valor absoluto. Entregar un volumen con signo menos es dejar sin cerrar el ejercicio, porque un volumen no puede ser negativo.
Haciendo el producto escalar. Si sale cero, son perpendiculares. Es la comprobación más rápida del bloque y aparece constantemente disfrazada: comprobar que una recta es perpendicular a un plano, que dos planos son perpendiculares, o buscar un vector que cumpla esa condición.
Cuando sus coordenadas son proporcionales, es decir, cuando uno es el otro multiplicado por un número. La otra forma es el producto vectorial: si da el vector cero, son paralelos, porque no forman ningún paralelogramo.
Se forman dos vectores desde el mismo vértice, se hace su producto vectorial, se toma el módulo y se divide entre dos. Con los vértices A, B y C, los vectores son AB y AC, y el área es la mitad del módulo de su producto vectorial.
Con el producto mixto de los tres vectores que salen de un mismo vértice, en valor absoluto y dividido entre seis. Con los vértices A, B, C y D, los vectores son AB, AC y AD.
Que los tres vectores están en el mismo plano, o sea que son coplanarios. Es la forma de comprobar si cuatro puntos pertenecen a un mismo plano: se forman los tres vectores desde uno de ellos y se mira si el determinante se anula.
No. Cambiar el orden cambia el sentido del vector resultado: u por v es el opuesto de v por u. Para un área da igual, porque el módulo no cambia, pero si lo que buscas es un vector normal con un sentido concreto, el orden importa.
Para casi todo lo que viene después: la distancia de un punto al plano, el ángulo entre dos planos, y la recta perpendicular al plano, que usa el normal como vector director. Si el plano viene en forma general, el normal son directamente los coeficientes de x, y y z.
Es uno de los cuatro bloques del temario oficial de la asignatura, así que es contenido que entra. El peso que se le da y el formato de la pregunta cambian de una comunidad a otra, así que conviene mirar los exámenes de la tuya.
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