Tema 2.2 · Análisis · Matemáticas II
Una derivada mide el ritmo al que cambia una función, y en la práctica es la pendiente de la recta tangente en cada punto. En la PAU casi nunca te piden derivar por derivar: derivas para averiguar otra cosa —dónde crece la función, dónde están sus máximos, cómo se curva, qué recta la toca en un punto o qué medidas hacen mínimo un coste—. Para la convocatoria de 2027 esto se mantiene igual: derivar bien no basta si no sabes para qué lo estás haciendo.
Cuatro ideas. Con ellas colocadas, las reglas se convierten en mecánica y dejan de darte miedo.
La derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la gráfica en ese punto. Si sale positiva, la función sube ahí; si sale negativa, baja; y si sale cero, en ese punto la tangente es horizontal, que es justo lo que pasa en los máximos, en los mínimos y en algunos puntos de inflexión. Toda la parte de estudio de funciones sale de esa única frase.
Suma, producto, cociente y cadena. La de la suma es la que todo el mundo da por sabida. La del producto y la del cociente hay que memorizarlas tal cual, con el orden de los términos incluido, porque cambiarlo altera el signo. Y la de la cadena es la que de verdad separa a quien deriva bien de quien no.
Cuando una función está metida dentro de otra, se deriva la de fuera dejando lo de dentro igual, y después se multiplica por la derivada de lo de dentro. Resumido: derivar y multiplicar por la derivada de dentro. Siempre que veas un paréntesis elevado a algo, un seno de algo que no sea x sola o una exponencial con exponente compuesto, ahí hay cadena.
Derivar otra vez te dice cómo se dobla la función. Si la segunda derivada es positiva la curva es cóncava hacia arriba, si es negativa hacia abajo, y donde cambia de signo hay un punto de inflexión. Además es la herramienta rápida para confirmar si un punto crítico es máximo o mínimo.
La columna de la derecha es la misma derivada cuando dentro hay una función en vez de una x suelta. Es la que casi nadie estudia y la que hace falta en el examen.
| Función | Derivada | Con la cadena |
|---|---|---|
| xn | n·xn-1 | n·un-1·u' |
| ex | ex | eu·u' |
| ax | ax·ln a | au·ln a·u' |
| ln x | 1/x | u'/u |
| sen x | cos x | cos u·u' |
| cos x | −sen x | −sen u·u' |
| tg x | 1 + tg2x | (1 + tg2u)·u' |
u es la función de dentro y u' su derivada.
Casi todas las preguntas de derivadas de selectividad son una de estas cinco.
Dominio, asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos, concavidad, convexidad y puntos de inflexión. Es el problema largo y suele aparecer en las dos opciones.
Te dan una función y un punto y piden la ecuación de la recta que la toca ahí, o la perpendicular a esa. Es un apartado corto y de los más agradecidos, porque el procedimiento es siempre idéntico.
Un enunciado con contexto —una lata, un terreno, un coste— del que hay que sacar la función y buscarle el máximo o el mínimo. Lo difícil no es derivar, es plantear la función y la relación entre las variables.
Para límites que dan indeterminación. Se derivan numerador y denominador por separado, no la fracción entera, y se vuelve a intentar el límite.
Suelen pedirlos como pregunta teórica: enunciarlos y comprobar que la función cumple las hipótesis antes de aplicarlos. Los puntos están en comprobar las hipótesis, no en la cuenta final.
El error rey de la regla de la cadena. Se deriva la función de fuera y ahí se acaba, sin multiplicar por la derivada de lo de dentro. El resultado se parece tanto al bueno que ni te enteras de que lo has hecho mal.
En la regla del cociente hay una resta, no una suma, y el orden de los dos términos importa. Además el denominador va al cuadrado. Son las dos cosas que más se caen por escribir deprisa.
En optimización, encontrar dónde se anula la derivada no termina el ejercicio: hay que comprobar con la segunda derivada si ese punto es máximo o mínimo. Sin esa comprobación, la mitad de las veces se entrega el mínimo cuando pedían el máximo.
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