Tema 2.2 · Análisis · Matemáticas II
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El método, en corto
Cada paso, explicado y con sus trampas, más abajo.
Una derivada mide el ritmo al que cambia una función, y en la práctica es la pendiente de la recta tangente en cada punto. Derivar no es el fin: derivas para averiguar otra cosa —dónde crece la función, dónde están sus máximos, cómo se curva, qué recta la toca en un punto o qué medidas hacen mínimo un coste—. Derivar bien no basta si no sabes para qué lo estás haciendo.
Antes de buscar nada raro, repasa estas cuatro. Las tres primeras son de derivar; la cuarta, de usar la derivada.
Es el fallo propio de la regla de la cadena: se deriva la función de fuera y ahí se acaba, sin multiplicar por la derivada de lo de dentro. La derivada de sen(x2) es cos(x2)·2x, no cos(x2). El resultado incompleto se parece tanto al bueno que ni te enteras de que lo has hecho mal.
En la regla del cociente hay una resta, no una suma, y el orden de los dos términos importa. Además el denominador va al cuadrado. Son dos detalles fáciles de perder por escribir deprisa. La fórmula completa: (f/g)' = (f'·g − f·g')/g2.
x2·sen x es un producto: dos funciones que se multiplican, y va con (f·g)' = f'·g + f·g'. sen(x2) es una composición: una función dentro de otra, y va con la cadena. Antes de derivar, mira si las dos funciones están una al lado de la otra o una dentro de la otra.
En optimización, encontrar dónde se anula la derivada no termina el ejercicio: hay que comprobar si ese punto es máximo o mínimo, con el signo de la segunda derivada o con el cambio de signo de la primera. Sin esa comprobación, se puede entregar el mínimo cuando pedían el máximo. El ejercicio resuelto de abajo lo hace.
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¿Te sabes lo que hay que saber antes de escribir la primera línea? Qué mide una derivada, las cuatro reglas, qué te dice el signo de f' y el de f'', y qué hay que comprobar antes de dar un extremo por bueno. Se contesta marcando.
Hacer el test de Derivadas →La regla · 10 preguntas · 5 minutos
Cuatro ideas. Con ellas colocadas, las reglas se convierten en mecánica y dejan de darte miedo.
La derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la gráfica en ese punto. Si sale positiva, la función sube ahí; si sale negativa, baja; y si sale cero, en ese punto la tangente es horizontal, que es justo lo que pasa en los máximos, en los mínimos y en algunos puntos de inflexión. Toda la parte de estudio de funciones sale de esa única frase.
Suma, producto, cociente y cadena. La de la suma no tiene misterio. La del producto y la del cociente hay que memorizarlas tal cual, con el orden de los términos incluido, porque cambiarlo altera el signo. Y la de la cadena es la que hay que dominar para derivar bien.
Cuando una función está metida dentro de otra, se deriva la de fuera dejando lo de dentro igual, y después se multiplica por la derivada de lo de dentro. Resumido: derivar y multiplicar por la derivada de dentro. Siempre que veas un paréntesis elevado a algo, un seno de algo que no sea x sola o una exponencial con exponente compuesto, ahí hay cadena.
Derivar otra vez te dice cómo se dobla la función. Si la segunda derivada es positiva la curva es convexa (forma ∪), si es negativa es cóncava (forma ∩), y donde cambia de signo hay un punto de inflexión. Además es la herramienta rápida para confirmar si un punto crítico es máximo o mínimo. Hay libros que llaman «cóncava hacia arriba» a la forma ∪; por eso, en el examen, escribe también el dibujo, ∪ o ∩, y no habrá duda.
La columna de la derecha es la misma derivada cuando dentro hay una función en vez de una x suelta. Es la que hace falta en cuanto la función es compuesta.
| Función | Derivada | Con la cadena |
|---|---|---|
| xn | n·xn-1 | n·un-1·u' |
| ex | ex | eu·u' |
| ax | ax·ln a | au·ln a·u' |
| ln x | 1/x | u'/u |
| sen x | cos x | cos u·u' |
| cos x | −sen x | −sen u·u' |
| tg x | 1 + tg2x | (1 + tg2u)·u' |
| arcsen x | 1/√1 − x2 | u'/√1 − u2 |
| arctg x | 1/(1 + x2) | u'/(1 + u2) |
u es la función de dentro y u' su derivada.
Una función es derivable en x = a si la derivada existe ahí y es un número. En un punto donde se juntan dos trozos, eso se comprueba en un orden fijo.
Derivable implica continua: si una función salta en un punto, no es derivable ahí, y no hace falta calcular ninguna derivada. Al revés no: una función puede ser continua y no derivable, como |x| en x = 0, que hace un pico con pendiente −1 a la izquierda y 1 a la derecha.
Uno: cada trozo por separado; si es un polinomio o una exponencial, es derivable en su tramo abierto. Dos: en el punto de unión, continuidad: los dos límites laterales iguales entre sí y al valor de la función. Si falla, no es derivable y se acaba. Tres: si es continua, se deriva cada trozo, se sustituye x = a en las dos derivadas y se comparan: son las derivadas laterales.
Con f(x) = x2 si x ≤ 1 y f(x) = x2 + 1 si x > 1, las dos derivadas valen 2x y en x = 1 dan 2 y 2. Parecen iguales, pero la función salta de 1 a 2 en ese punto: no es continua y, por tanto, tampoco derivable.
g(x) = x2 si x ≤ 1 y g(x) = 3x − 2 si x > 1. Continuidad en x = 1: por la izquierda 12 = 1, por la derecha 3·1 − 2 = 1, y g(1) = 1: es continua. Derivadas de los trozos: 2x y 3, que en x = 1 dan 2 y 3. Son distintas: la gráfica hace un pico y g no es derivable en x = 1.
Si piden los valores que hacen derivable a f(x) = ax2 + 3x si x ≤ 2 y f(x) = x2 − bx − 4 si x > 2, se plantea una ecuación de continuidad y otra de derivadas laterales. Continuidad en 2: 4a + 6 = 4 − 2b − 4, es decir, 4a + 6 = −2b. Derivadas: 2ax + 3 y 2x − b, que en 2 dan 4a + 3 = 4 − b, así que b = 1 − 4a. Sustituyendo, 4a + 6 = −2 + 8a, de donde a = 2 y b = −7. Con esos valores los dos trozos valen 14 en x = 2 y las dos derivadas, 11.
En el punto de abscisa x = a: y − f(a) = f'(a)·(x − a). f(a) da el punto, que es la altura de la gráfica ahí, y f'(a) da la pendiente. Se calcula f(a), se deriva, se sustituye a en la derivada y se mete todo en la fórmula.
Es la perpendicular a la tangente en el mismo punto, así que su pendiente es −1/f'(a): y − f(a) = −(1/f'(a))·(x − a). Si f'(a) = 0, la tangente es horizontal y la normal es la recta vertical x = a.
f(x) = x2 − 3x en x = 2. El punto: f(2) = 4 − 6 = −2. La pendiente: f'(x) = 2x − 3, y f'(2) = 1. Tangente: y + 2 = 1·(x − 2), es decir, y = x − 4. Normal: pendiente −1/1 = −1, y + 2 = −(x − 2), es decir, y = −x.
Las cinco aplicaciones de la derivada que hay que saber resolver.
Dominio, asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos, concavidad, convexidad y puntos de inflexión. Es un ejercicio largo.
Te dan una función y un punto y piden la recta que la toca ahí, o la perpendicular a esa. Es un apartado corto; la fórmula está en la sección de abajo.
Un enunciado con contexto —una lata, un terreno, un coste— del que hay que sacar la función y buscarle el máximo o el mínimo. Lo difícil no es derivar, es plantear la función y la relación entre las variables.
Para límites que dan indeterminación. Se derivan numerador y denominador por separado, no la fracción entera, y se vuelve a intentar el límite.
Se pueden pedir como pregunta teórica: enunciarlos y comprobar que la función cumple las hipótesis antes de aplicarlos. Los puntos están en comprobar las hipótesis, no en la cuenta final. En la página de límites y continuidad hay un apartado oficial resuelto que prueba lo mismo con Rolle y con Bolzano.
Enunciado de la PAU de Madrid 2025, convocatoria extraordinaria (pregunta 2, 2,5 puntos): «Un agricultor dispone de 120 metros de valla para delimitar una parcela con forma de pentágono. Los vértices del pentágono se nombrarán consecutivamente como A, B, C, D y E. Se sabe que A, B, D y E forman un rectángulo, y que el punto C se encuentra en el exterior de este rectángulo, formando un triángulo equilátero con los puntos B y D. ¿A qué distancia del vértice A el agricultor debe ubicar los vértices B y E si quiere que la parcela tenga la mayor área posible?»
Llama x a la distancia de A a B e y a la distancia de A a E. En el rectángulo ABDE los lados opuestos son iguales: DE = x y BD = y. El triángulo BCD es equilátero y su lado es BD, así que BC = CD = y.
La valla recorre el borde del pentágono: AB + BC + CD + DE + EA = x + y + y + x + y = 2x + 3y = 120. BD no lleva valla, porque queda por dentro de la parcela; contarla daría 2x + 4y y todo lo demás saldría mal.
Área del rectángulo: x·y. Área del triángulo equilátero de lado y: su altura es (√3/2)·y, así que el área es (1/2)·y·(√3/2)·y = (√3/4)·y2. Área total: x·y + (√3/4)·y2.
De 2x + 3y = 120 sale x = (120 − 3y)/2 = 60 − (3/2)·y. Sustituyendo: A(y) = y·(60 − (3/2)·y) + (√3/4)·y2 = 60y − (3/2)·y2 + (√3/4)·y2. Como x e y tienen que ser positivos, y va de 0 a 40: con y = 40 sería x = 0.
A'(y) = 60 − 3y + (√3/2)·y = 60 − (3 − √3/2)·y. Igualando a cero: y = 60/(3 − √3/2). Multiplicando arriba y abajo por 2 queda 120/(6 − √3), y multiplicando por el conjugado, 6 + √3: y = 120·(6 + √3)/(36 − 3) = 120·(6 + √3)/33 = 40·(6 + √3)/11, más o menos 28,12 m. Está entre 0 y 40, porque 6 + √3 es menor que 11.
Aquí se cometería el error de dar por buena la solución sin comprobarla. A''(y) = −3 + √3/2, más o menos −2,13, que es negativo: es un máximo. Dicho con la primera derivada: A' es positiva antes de ese valor y negativa después, así que el área crece y luego decrece, y es el máximo absoluto en el intervalo.
x = 60 − (3/2)·y = 60 − 60·(6 + √3)/11 = (660 − 360 − 60·√3)/11 = 60·(5 − √3)/11, más o menos 17,83 m. Comprobación con la valla: 2·17,825 + 3·28,117 = 35,65 + 84,35 = 120 m.
B tiene que ir a 60·(5 − √3)/11 ≈ 17,83 m de A, y E a 40·(6 + √3)/11 ≈ 28,12 m de A. Es lo mismo que da la solución oficial (17,825 y 28,117 m). En los criterios oficiales, el planteamiento vale 1,5 puntos y la resolución 1: la mayor parte está en llegar a la función de una variable.
El punto donde la función cambia de curvatura: pasa de doblarse hacia arriba a doblarse hacia abajo o al revés. Se encuentra donde la segunda derivada se anula y además cambia de signo al pasar por ahí.
Todo esto desarrollado paso a paso, con los trucos que ahorran tiempo, los errores señalados donde se cometen y ejercicios tipo PAU resueltos. Disponible próximamente.