Tema 2.1 · Análisis · Matemáticas II
Actualizado el
El método, en corto
Cada paso, explicado y con sus trampas, más abajo.
Un límite dice hacia dónde se acerca una función cuando la x se acerca a un valor, aunque en ese valor la función no exista. Más que un fin, el límite es una herramienta: lo calculas para averiguar otra cosa —si una función es continua, dónde tiene asíntotas, si una ecuación tiene solución—. El truco de todo el tema es que hay siete indeterminaciones posibles y cada una tiene su forma de resolverse: lo primero es identificar cuál tienes.
Son siete: las dos últimas van en la misma fila. Cuando sustituyes y te sale una de estas, el límite no está mal: está sin terminar.
| Indeterminación | Cuándo aparece | Cómo se rompe |
|---|---|---|
| 0/0 | Cociente de polinomios o de raíces con x tendiendo a un número | Factorizar y simplificar, o multiplicar por el conjugado si hay raíces |
| ∞/∞ | Cociente de polinomios con x tendiendo a infinito | Comparar los grados de arriba y de abajo, o dividir todo entre la mayor potencia |
| ∞ − ∞ | Resta de raíces o de fracciones | Multiplicar y dividir por el conjugado, o poner común denominador |
| 0 · ∞ | Producto de algo que se anula por algo que se dispara | Pasar un factor al denominador como 1/g y volver a 0/0 o a ∞/∞ |
| 1∞ | Base que tiende a 1 con exponente que se dispara | Fórmula del número e, o tomar logaritmos neperianos |
| 00 y ∞0 | Exponenciales con base y exponente variables | Tomar logaritmos neperianos y aplicar L'Hôpital al resultado |
L'Hôpital solo ataca directamente 0/0 e ∞/∞. Las otras cinco hay que llevarlas antes a una de esas dos.
La regla cambia el cociente de dos funciones por el cociente de sus derivadas. Funciona muy bien, pero solo dentro de sus condiciones: fuera de ellas da un número que no es el límite.
Primero se sustituye. Si sale un número, ese es el límite y se acabó. Si sale 0/0 o ∞/∞, se puede derivar arriba y abajo y volver a sustituir; si vuelve a salir 0/0 o ∞/∞, se deriva otra vez. Con cualquier otro resultado no se aplica.
Con el límite de (x + 1)/(x + 2) cuando x tiende a 0, al sustituir sale 1/2, y ese es el resultado. Si alguien deriva sin mirar, obtiene 1/1 = 1, que es falso. El ejercicio entero se cae por no haber sustituido antes de decidir.
Se deriva el numerador por un lado y el denominador por otro. No se usa la regla del cociente, porque no se está derivando la fracción: se está cambiando por otra con el mismo límite.
0·∞ se escribe como f/(1/g); ∞ − ∞ se opera hasta dejar una sola fracción; 1∞ se pasa con la fórmula del número e al límite de g·(f − 1), que se escribe como cociente; y 00 e ∞0 se resuelven tomando logaritmos. Solo cuando ya hay un cociente 0/0 o ∞/∞ entra L'Hôpital. El ejercicio de abajo es justo ese camino.
Las asíntotas se piden solas o dentro del estudio completo de una función. Salen todas de un límite.
La recta x = a, donde el límite de la función se dispara a más o menos infinito. Los candidatos son los valores que anulan el denominador sin anular el numerador. Hay que calcular los dos límites laterales, porque la función puede irse a más infinito por un lado y a menos infinito por el otro, y eso hay que decirlo.
La recta y = L, siendo L el límite de la función cuando x tiende a infinito. En un cociente de polinomios aparece cuando el grado de arriba es menor o igual que el de abajo: si es menor, la asíntota es y = 0; si son iguales, es el cociente de los coeficientes principales.
La recta y = mx + n. La pendiente m es el límite de f(x) dividido entre x, y la n es el límite de f(x) menos mx. En un cociente de polinomios solo existe cuando el grado de arriba supera al de abajo exactamente en uno, y entonces sale más rápido haciendo la división de los polinomios.
Verticales, las que sean. Pero horizontal y oblicua nunca conviven en la misma rama: o una o la otra. Por eso lo primero es mirar la horizontal, y solo si no existe se busca la oblicua. Comprobar las dos ramas por separado sí tiene sentido, porque en más infinito y en menos infinito pueden salir distintas.
Dos apartados de la PAU de Madrid 2024, convocatoria ordinaria. Pregunta B.2 b): «(1.25 puntos) Calcule el límite cuando x tiende a π/2 de (tg(x/2))1/cos x». Pregunta A.2 b), para la función f(x) = x4 + πx3 + π2x2 + π3x + π4: «(1 punto) Probar que f(x) tiene, al menos, un punto con derivada nula en el intervalo (−π, 0) utilizando justificadamente el teorema de Rolle. Probar de nuevo la misma afirmación utilizando adecuadamente, esta vez, el teorema de Bolzano.»
En x = π/2, la base vale tg(π/4) = 1 y el exponente 1/cos(π/2) = 1/0: por la izquierda cos x es positivo y el exponente se va a +∞; por la derecha es negativo y se va a −∞. Es una indeterminación 1∞. No es un cociente, así que todavía no se puede usar L'Hôpital: hacerlo aquí es el error de aplicar la regla donde no toca.
Para una base f que tiende a 1 y un exponente g que tiende a infinito, el límite de fg es e elevado al límite de g·(f − 1). Aquí el exponente de e es el límite de (tg(x/2) − 1)/cos x. Al sustituir sale (1 − 1)/0 = 0/0: ahora sí es un cociente con 0/0.
Arriba, tg(x/2) − 1 lleva cadena: la derivada de tg u es (1 + tg2u)·u', y con u = x/2 es u' = 1/2, así que queda (1 + tg2(x/2))·(1/2). El 1 que resta es una constante y su derivada es 0. Abajo, la derivada de cos x es −sen x.
Arriba: (1 + tg2(π/4))·(1/2) = (1 + 1)·(1/2) = 1. Abajo: −sen(π/2) = −1. El límite del exponente es 1/(−1) = −1, y sale lo mismo por la izquierda que por la derecha, porque el cociente de las derivadas tiende a −1 por los dos lados.
El límite es e−1 = 1/e, más o menos 0,368. Según los criterios oficiales, el planteamiento vale 1 punto y el número final 0,25: casi toda la nota está en llevar el 1∞ al número e y justificar el 0/0.
f es un polinomio, así que es continua en [−π, 0] y derivable en (−π, 0). Falta ver que vale lo mismo en los dos extremos. En −π, término a término: (−π)4 = π4; π·(−π)3 = −π4; π2·(−π)2 = π4; π3·(−π) = −π4; y π4. Suman π4. En 0 solo queda el último término: f(0) = π4. Como f(−π) = f(0), Rolle asegura un c en (−π, 0) con f'(c) = 0.
Aquí está la trampa: Bolzano dice dónde se anula una función, y lo que se busca es dónde se anula f'. Aplicarlo a f no sirve, porque f(−π) y f(0) valen los dos π4, sin cambio de signo. Se deriva: f'(x) = 4x3 + 3πx2 + 2π2x + π3, que es un polinomio y por tanto continua en [−π, 0]. En −π: −4π3 + 3π3 − 2π3 + π3 = −2π3, negativo. En 0: π3, positivo.
B.2 b): el límite vale 1/e. A.2 b): por Rolle, porque f es continua, derivable y f(−π) = f(0) = π4; por Bolzano aplicado a f', porque f' es continua y pasa de −2π3 a π3. Las dos vías dan un c en (−π, 0) con f'(c) = 0. En los criterios, cada teorema vale 0,25 por el planteamiento y 0,25 por la resolución: sin escribir las hipótesis no se puntúa.
Este ejercicio pide hallar el valor del parámetro que hace continua la función. Se resuelve en tres pasos, y en este orden. Primero, la función tiene que existir en el punto de corte: se sustituye en el trozo que incluye ese valor. Segundo, tienen que existir los dos límites laterales y ser iguales entre sí, calculando cada uno con su expresión. Y tercero, ese valor común tiene que coincidir con el de la función. Igualando las dos últimas condiciones sale el parámetro. Lo importante es escribir los tres pasos aunque el valor se vea a simple vista: la nota de ese apartado está repartida entre ellos, no en el número final.
Sirve para demostrar que una ecuación tiene solución en un intervalo sin resolverla. La nota del apartado está en las hipótesis, no en la conclusión.
La función tiene que ser continua en el intervalo cerrado [a, b], y f(a) y f(b) tienen que tener signos opuestos. Cumplidas las dos, existe al menos un c en (a, b) con f(c) = 0. En el examen se escriben las dos y después la conclusión.
f(x) = 1/x vale −1 en x = −1 y 1 en x = 1: cambia de signo, pero no se anula en ningún punto. El motivo es que no es continua en x = 0, que está dentro del intervalo. Por eso el cambio de signo solo no basta.
No dice dónde está la solución ni cuántas hay: puede haber una o varias. Para probar que es única se añade Rolle: si f' no se anula en el intervalo, no puede haber dos raíces, porque entre dos raíces Rolle daría un punto con f' = 0.
A la de la ecuación que se quiere resolver, pasada toda a un lado para que quede f(x) = 0. Si lo que se pide es un punto con derivada nula, la función es f', como en el ejercicio resuelto de arriba.
Que el límite exista es solo una de las tres condiciones. Puede existir el límite y no existir la función en ese punto, o existir las dos cosas y valer distinto. La continuidad exige que exista la función, que exista el límite y que coincidan.
En un punto donde cambia la definición de la función, el límite por la izquierda y por la derecha se calculan con expresiones distintas. Sustituir en una sola y dar el resultado por bueno es un error: la continuidad en ese punto depende de comparar los dos.
Si ya has encontrado asíntota horizontal en una rama, en esa rama no hay oblicua. Ponerse a calcular m y n después de haber hallado la horizontal es tiempo perdido, y si sale algo raro puedes acabar escribiendo una asíntota que no existe.
Nivel 1 gratis
¿Te sabes lo que hay que saber antes de escribir la primera línea? Qué indeterminación tienes delante y qué se hace con cada una, cuándo se puede usar L'Hôpital, las tres condiciones de la continuidad y qué hay que comprobar antes de invocar un teorema. Se contesta marcando.
Hacer el test de Límites y continuidad →La regla · 10 preguntas · 5 minutos
Evitable, cuando el límite existe pero no coincide con la función o la función no está definida ahí. De salto finito, cuando los dos laterales existen pero son distintos. Y de salto infinito o esencial, cuando alguno de los laterales se va a infinito, que es lo que ocurre en las asíntotas verticales.
Bolzano garantiza que la función se anula en algún punto si cambia de signo. Weierstrass garantiza que una función continua en un intervalo cerrado alcanza un máximo y un mínimo absolutos dentro de él. Los dos exigen continuidad, pero responden a preguntas distintas.
Todo esto desarrollado paso a paso, con los trucos que ahorran tiempo, los errores señalados donde se cometen y ejercicios tipo PAU resueltos. Disponible próximamente.