Tema 2.1 · Análisis · Matemáticas II
Un límite dice hacia dónde se acerca una función cuando la x se acerca a un valor, aunque en ese valor la función no exista. En la PAU casi nunca te piden un límite suelto: lo calculas para averiguar otra cosa —si una función es continua, dónde tiene asíntotas, si una ecuación tiene solución—. El truco de todo el tema es que hay solo seis indeterminaciones posibles y cada una se rompe siempre de la misma manera: identificar cuál tienes es el 80 % del ejercicio.
Son seis y no hay más. Cuando sustituyes y te sale una de estas, el límite no está mal: está sin terminar.
| Indeterminación | Cuándo aparece | Cómo se rompe |
|---|---|---|
| 0/0 | Cociente de polinomios o de raíces con x tendiendo a un número | Factorizar y simplificar, o multiplicar por el conjugado si hay raíces |
| ∞/∞ | Cociente de polinomios con x tendiendo a infinito | Comparar los grados de arriba y de abajo, o dividir todo entre la mayor potencia |
| ∞ − ∞ | Resta de raíces o de fracciones | Multiplicar y dividir por el conjugado, o poner común denominador |
| 0 · ∞ | Producto de algo que se anula por algo que se dispara | Pasar un factor al denominador y volver al caso 0/0 |
| 1∞ | Base que tiende a 1 con exponente que se dispara | Fórmula del número e, o tomar logaritmos neperianos |
| 00 y ∞0 | Exponenciales con base y exponente variables | Tomar logaritmos neperianos y aplicar L'Hôpital al resultado |
L'Hôpital solo ataca directamente 0/0 e ∞/∞. Las otras cuatro hay que llevarlas antes a una de esas dos.
Las asíntotas se piden solas o dentro del estudio completo de una función. Salen todas de un límite.
La recta x = a, donde el límite de la función se dispara a más o menos infinito. Los candidatos son los valores que anulan el denominador sin anular el numerador. Hay que calcular los dos límites laterales, porque la función puede irse a más infinito por un lado y a menos infinito por el otro, y eso hay que decirlo.
La recta y = L, siendo L el límite de la función cuando x tiende a infinito. En un cociente de polinomios aparece cuando el grado de arriba es menor o igual que el de abajo: si es menor, la asíntota es y = 0; si son iguales, es el cociente de los coeficientes principales.
La recta y = mx + n. La pendiente m es el límite de f(x) dividido entre x, y la n es el límite de f(x) menos mx. En un cociente de polinomios solo existe cuando el grado de arriba supera al de abajo exactamente en uno, y entonces sale más rápido haciendo la división de los polinomios.
Verticales, las que sean. Pero horizontal y oblicua nunca conviven en la misma rama: o una o la otra. Por eso lo primero es mirar la horizontal, y solo si no existe se busca la oblicua. Comprobar las dos ramas por separado sí tiene sentido, porque en más infinito y en menos infinito pueden salir distintas.
L'Hôpital solo vale si al sustituir sale 0/0 o infinito entre infinito. Si sustituyes y sale un número, ya has terminado: derivar ahí cambia el resultado y el ejercicio se cae entero. Hay que sustituir siempre antes de decidir nada.
Que el límite exista es solo una de las tres condiciones. Puede existir el límite y no existir la función en ese punto, o existir las dos cosas y valer distinto. La continuidad exige que exista la función, que exista el límite y que coincidan.
En un punto donde cambia la definición de la función, el límite por la izquierda y por la derecha se calculan con expresiones distintas. Sustituir en una sola y dar el resultado por bueno es el fallo más frecuente de todo el tema, y es justo el punto que el corrector va a mirar.
Si ya has encontrado asíntota horizontal en una rama, en esa rama no hay oblicua. Ponerse a calcular m y n después de haber hallado la horizontal es tiempo perdido, y si sale algo raro puedes acabar escribiendo una asíntota que no existe.
El teorema exige que la función sea continua en el intervalo cerrado. Si la función tiene una discontinuidad ahí dentro, el cambio de signo no garantiza nada. Los puntos del apartado están en comprobar las hipótesis, no en decir que la solución existe.
Es el ejercicio más repetido del tema y siempre pide lo mismo: hallar el valor del parámetro que hace continua la función. Se resuelve en tres pasos, y en este orden. Primero, la función tiene que existir en el punto de corte: se sustituye en el trozo que incluye ese valor. Segundo, tienen que existir los dos límites laterales y ser iguales entre sí, calculando cada uno con su expresión. Y tercero, ese valor común tiene que coincidir con el de la función. Igualando las dos últimas condiciones sale el parámetro. Lo importante es escribir los tres pasos aunque el valor se vea a simple vista: la nota de ese apartado está repartida entre ellos, no en el número final.
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