Tema 2.3 · Análisis · Matemáticas II
En la PAU de Matemáticas II las integrales entran de dos formas: como integral indefinida, donde tienes que reconocer el método y aplicarlo, y como integral definida para calcular un área. Los métodos que se dan en 2º de Bachillerato son cinco —inmediatas, por partes, cambio de variable, racionales y trigonométricas— y casi todo el ejercicio se decide en el primer minuto: en acertar cuál de los cinco toca. Para la convocatoria de 2027 el contenido no cambia respecto a los años anteriores.
Los cinco que hay que reconocer, en el orden en el que conviene probarlos.
Las que salen de leer la tabla de derivadas al revés. No dan puntos por sí solas, pero aparecen dentro de todas las demás: si no las tienes automatizadas, cada método largo se te hace el doble de largo. Antes de complicarte con cualquier otro método, comprueba siempre si la integral es inmediata.
Para productos de funciones de distinto tipo: un polinomio por una exponencial, un polinomio por un seno, o un logaritmo suelto. A veces hay que aplicarla dos veces seguidas, y en algún caso la integral original reaparece al final y hay que despejarla como si fuera una incógnita.
Se elige una parte de la función como variable nueva para que lo que queda sea inmediato. Funciona cuando ves dentro de la integral una función y su derivada multiplicando. También se llama integración por sustitución.
Un cociente de polinomios se descompone en fracciones simples y cada trozo se integra por separado. Si el numerador tiene grado mayor o igual que el denominador, primero hay que dividir.
Senos y cosenos que se resuelven bajando la potencia con las identidades o con un cambio de variable. Es el método que menos aparece de los cinco, pero cuando cae no hay forma de salir por otro lado.
El formato habitual es el mismo casi siempre: primero resolver una integral indefinida eligiendo el método adecuado, y después usar la integral definida para hallar el área encerrada entre una función y el eje de abscisas, o entre dos funciones. Puede venir como pregunta suelta o como uno de los apartados del problema grande de análisis de funciones.
No son fallos de cálculo: son cosas que se dan por sabidas y que el corrector descuenta igual.
Es el fallo que más caro sale, y no por los puntos sino por el reloj: aplicar integración por partes donde bastaba un cambio de variable te come diez minutos y encima te deja algo peor de lo que tenías. Antes de escribir nada, mira la función y decide.
En una integral indefinida, la solución sin la constante está incompleta. Es medio segundo de escritura y es de los descuentos más tontos que hay.
Al hacer el cambio hay que sustituir también el diferencial, y si la integral es definida, además los límites de integración. Dejarse cualquiera de los dos invalida el resultado aunque el resto esté perfecto.
Si la función cambia de signo dentro del intervalo, la parte de abajo del eje resta y se compensa con la de arriba: te sale un área más pequeña de la real, o directamente cero. Hay que hallar los cortes, partir la integral en trozos y tomar cada uno en valor absoluto.
Cuando la primitiva es un logaritmo, va dentro de valor absoluto. Sin él, la función no está definida en la mitad del dominio y el corrector lo ve enseguida.
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