Tema 2.3 · Análisis · Matemáticas II
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El método, en corto
Cada paso, explicado y con sus trampas, más abajo.
En la PAU de Matemáticas II las integrales entran de dos formas: como integral indefinida, donde tienes que reconocer el método y aplicarlo, y como integral definida para calcular un área. Además de las inmediatas, que son la tabla de derivadas leída al revés, los métodos de 2º de Bachillerato son tres —cambio de variable, por partes y racionales— y buena parte del ejercicio se decide al principio: en acertar cuál toca.
Antes de escribir nada, mira la función y hazte estas preguntas en este orden. La primera que se cumpla decide el método.
Las que salen de leer la tabla de derivadas al revés. No dan puntos por sí solas, pero aparecen dentro de todas las demás: si no las tienes automatizadas, cada método largo se te hace mucho más largo. Antes de complicarte con cualquier otro método, comprueba siempre si la integral es inmediata. A veces solo falta una constante para completar la derivada de dentro: se multiplica y se divide por ella.
Si dentro de la integral aparece una función y, multiplicando, su derivada (o un múltiplo de ella), se llama t a esa función y lo que queda es inmediato. En 2x·(x2 + 1)3, con t = x2 + 1 es dt = 2x dx, y la primitiva es (x2 + 1)4/4 + C. También se llama integración por sustitución. Al final se deshace el cambio.
Un polinomio por una exponencial, un polinomio por un seno, o un logaritmo o un arcotangente solos. La fórmula: la integral de u·dv es u·v menos la integral de v·du. Para elegir u, el orden es arco, logaritmo, potencia, exponencial, seno o coseno: lo primero de esa lista que aparezca es u. A veces hay que aplicarla dos veces seguidas.
Un cociente de polinomios se descompone en fracciones simples y cada trozo se integra por separado. Si el numerador tiene grado mayor o igual que el denominador, primero hay que dividir. Por cada raíz simple a del denominador sale un término A/(x − a), y cada uno se integra como un logaritmo.
Senos y cosenos que se resuelven bajando la potencia con las identidades o con un cambio de variable. Son un paso que aparece dentro de un cambio de variable o de una integral por partes, así que conviene tener a mano la identidad fundamental y las del ángulo doble.
Integrar es deshacer la derivada. Si derivas tu resultado y vuelves a la función de partida, la primitiva está bien; si no, hay un fallo antes de seguir.
Porque la integral definida no es un área: cuenta con signo menos lo que queda por debajo del eje. Con f(x) = x2 − 1 entre 0 y 2, la función es negativa entre 0 y 1 y positiva entre 1 y 2. La integral de 0 a 1 da −2/3 y la de 1 a 2 da 4/3; si se integra de 0 a 2 de una vez salen 2/3, pero el área real es 2/3 + 4/3 = 2. Por eso lo primero es hallar dónde corta la función al eje dentro del intervalo, partir la integral en esos puntos y tomar cada trozo en valor absoluto. Entre dos curvas pasa lo mismo: se integra la de arriba menos la de abajo, y si se cruzan dentro del intervalo, se parte en cada cruce, porque en cada tramo puede ir arriba una distinta. Si te sale negativo, has restado al revés; y si te sale cero, casi seguro que se han compensado dos trozos.
Enunciado de la PAU de Madrid 2024, convocatoria extraordinaria (pregunta B.2): «Dada la función f(x) = x3 − 3x, se pide: […] b) (1.75 puntos) Calcular el área de la región acotada delimitada por las gráficas de f(x) y de g(x) = x(x − 3).»
g(x) = x(x − 3) = x2 − 3x. Se igualan: x3 − 3x = x2 − 3x. Los −3x se van de los dos lados y queda x3 − x2 = 0, es decir, x2·(x − 1) = 0: x = 0 y x = 1. Los puntos de corte son (0, 0) y (1, −2), porque f(1) = 1 − 3 = −2 y g(1) = 1·(−2) = −2. Esos son los límites de integración.
Se prueba un punto de dentro, x = 1/2. f(1/2) = 1/8 − 3/2 = −11/8. g(1/2) = (1/2)·(−5/2) = −5/4 = −10/8. Como −10/8 es mayor que −11/8, g va por arriba. Que las dos sean negativas, y la región quede bajo el eje X, da igual: entre dos curvas se resta la de abajo a la de arriba.
No. Las curvas solo se cortan en 0 y en 1, así que entre ellas no se cruzan. Se ve también en la resta: g(x) − f(x) = x2 − x3 = x2·(1 − x), que no es negativa en todo [0, 1]. Si hubiera un tercer corte dentro, habría que partir ahí.
Área = integral de 0 a 1 de (g(x) − f(x)) dx = integral de 0 a 1 de (x2 − 3x − x3 + 3x) dx = integral de 0 a 1 de (x2 − x3) dx. Los −3x y +3x se anulan.
Potencia a potencia, sube uno el exponente y divide por el nuevo: la primitiva de x2 es x3/3 y la de x3 es x4/4. F(x) = x3/3 − x4/4. En la integral definida no hace falta la constante, porque se va al restar.
F(1) − F(0) = (1/3 − 1/4) − 0 = 4/12 − 3/12 = 1/12.
La integral de 0 a 1 de (f − g) da −1/12. Es el error del área negativa: un área no puede ser negativa, y el signo solo dice que se ha tomado la de abajo como si fuera la de arriba. El área es 1/12, el valor absoluto.
El área de la región es 1/12 de unidad cuadrada, más o menos 0,083. Coincide con la solución oficial. En los criterios, los cortes valen 0,5 puntos, plantear la integral 0,5, la primitiva 0,5 y el resultado 0,25.
No son fallos de cálculo: son cosas que se dan por sabidas y que el corrector descuenta igual.
Sale caro, y no por los puntos sino por el reloj: aplicar integración por partes donde bastaba un cambio de variable te come tiempo y encima te deja algo peor de lo que tenías. Antes de escribir nada, mira la función y decide.
En una integral indefinida, la solución sin la constante está incompleta. Se escribe en un momento y evita un descuento tonto.
Al hacer el cambio hay que sustituir también el diferencial. Y si la integral es definida, tienes que elegir: o cambias los límites a la variable nueva, o deshaces el cambio al final y aplicas Barrow con los de siempre. Lo que invalida el resultado es mezclar las dos cosas: integrar en la variable nueva y quedarte con los límites viejos.
Cuando la primitiva es un logaritmo, va dentro de valor absoluto. Sin él, el logaritmo no está definido donde lo de dentro es negativo y el corrector lo ve enseguida.
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Es la que conecta la integral indefinida con la definida: una vez tienes la primitiva, el valor de la integral definida es la primitiva en el límite de arriba menos la primitiva en el de abajo. Es el paso que convierte una integral en un número.
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