Tema 2.2 · Análisis · Matemáticas CCSS
En Matemáticas CCSS la integral va unida al cálculo de áreas: el temario oficial se queda en las primitivas inmediatas, la regla de Barrow y el área de recintos delimitados por una o dos curvas. Así que la parte de integrar es corta y se puede tener dominada en una tarde. Donde se pierden los puntos es después, en el signo: en no darse cuenta de que la curva cruza el eje dentro del intervalo, o en confundir lo que vale la integral con lo que mide el área.
Cinco pasos. El tercero es el que decide el ejercicio y el que más se salta.
No hace falta una gráfica perfecta, pero sí saber por dónde va: si es una parábola hacia arriba o hacia abajo, si corta el eje, por dónde. Un esbozo de treinta segundos evita el error de signo que se lleva la mitad de la nota del apartado, y en el examen se valora que la respuesta esté razonada.
Si el enunciado no te da los límites de integración, son los puntos donde la curva corta al eje, o donde se cortan las dos curvas entre sí. Se obtienen igualando a cero, o igualando una función a la otra, y resolviendo la ecuación que sale.
Este es el paso que decide el ejercicio. Si la curva está por encima del eje en un trozo y por debajo en otro, hay que partir la integral por el punto de corte y calcular cada trozo por separado. Integrar de un tirón hace que las dos partes se resten entre sí y el área salga más pequeña de lo que es.
Se busca una primitiva, sin constante porque aquí se va a cancelar, y se evalúa en el límite de arriba menos el límite de abajo. Ese orden no se negocia: cambiarlo da el resultado con el signo cambiado y arrastra el error hasta el final.
Los trozos que salgan negativos se toman en positivo antes de sumar, porque un área no puede ser negativa. El resultado final se da con sus unidades cuadradas si el enunciado está en un contexto real, y con una frase que diga qué representa si se trata de un problema de economía.
Estas son las que hacen falta: el temario de CCSS se queda en las primitivas inmediatas y en las que salen de reconocer una función compuesta.
| Función | Primitiva | Detalle |
|---|---|---|
| Una constante k | k · x + C | El caso más simple y el que más se olvida al integrar por trozos |
| xn | xn+1 / (n+1) + C | Se suma uno al exponente y se divide por el nuevo exponente |
| 1 / x | ln|x| + C | Es el único caso que la regla anterior no cubre, porque daría dividir entre cero |
| Raíz de x | Se escribe como x1/2 y se aplica la regla de la potencia | Las raíces siempre se pasan a exponente antes de integrar |
| ex | ex + C | La exponencial se queda igual |
| ekx | ekx / k + C | Hay que dividir entre lo que multiplica a la x |
| g(x)n · g'(x) | g(x)n+1 / (n+1) + C | La potencia compuesta: se reconoce porque la derivada de dentro está multiplicando |
| g'(x) / g(x) | ln|g(x)| + C | Cuando arriba está exactamente la derivada de abajo |
| Suma de funciones | Se integra término a término | Un polinomio se integra sumando por partes iguales, monomio a monomio |
| Constante multiplicando | Sale fuera de la integral | El número se aparta y se vuelve a multiplicar al final |
La constante C es obligatoria en la integral indefinida y su ausencia se penaliza aunque el resto esté bien. En la integral definida no se escribe, porque al restar F(b) − F(a) se cancela sola. La integración por partes no está en el temario de Matemáticas CCSS: pertenece a Matemáticas II.
Si dentro del intervalo hay un trozo por encima del eje y otro por debajo, la integral de golpe los resta y da un número más pequeño que el área real. Puede incluso dar cero con un área evidentemente distinta de cero. Hay que partir por el punto de corte y sumar los trozos en positivo.
Un área es una superficie y no puede salir negativa. Si la cuenta da un número negativo, no se cambia el enunciado ni se revisa la primitiva: significa que ese trozo está por debajo del eje y se toma su valor absoluto. Entregar un área con signo menos es un fallo que se ve enseguida.
Es el límite de arriba menos el de abajo, siempre en ese orden. Hacerlo al contrario cambia el signo de todo el resultado, y como después se toma valor absoluto puede parecer que no pasa nada, hasta que el apartado pide el valor de la integral y no el área.
En la integral indefinida la respuesta no es una función, es una familia de funciones, y por eso lleva la constante detrás. Es un punto que se pierde sin necesidad, porque acordarse no cuesta ningún cálculo.
Muchos enunciados piden el área encerrada entre dos curvas sin decir entre qué valores. Los límites hay que sacarlos igualando las dos funciones y resolviendo. Inventarse un intervalo o coger el que aparezca en el dibujo del enunciado deja el ejercicio sin la parte que más puntúa.
En el área entre dos curvas se integra la de arriba menos la de abajo, y hay que comprobar cuál es cuál en ese intervalo, no suponerlo. Si se cortan y se cambian los papeles a mitad del recinto, hay que partir la integral igual que con el eje.
Es la distinción que decide muchos apartados. La integral definida es un número con signo: cuenta en positivo lo que queda por encima del eje y en negativo lo que queda por debajo. El área es una superficie y siempre es positiva. Por eso una función que sube tanto como baja dentro del intervalo puede tener integral cero y un área muy grande. Cuando el enunciado dice «calcula el valor de la integral», se responde el número tal cual, con su signo. Cuando dice «calcula el área del recinto», hay que partir por los cortes y sumar los trozos en positivo. Leer bien cuál de las dos piden es medio ejercicio.
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