Tema 2.1 · Análisis · Matemáticas CCSS
En Matemáticas de Ciencias Sociales las derivadas se piden de dos maneras: sueltas, para estudiar el crecimiento y la curvatura de una función, y metidas dentro de un problema de empresa. La segunda es la que más se atraganta. Un coste que hay que hacer mínimo, un beneficio que hay que hacer máximo, un número de unidades que conviene fabricar. Todos esos enunciados se resuelven con la misma secuencia de seis pasos, y el punto donde se cae no es la derivada sino el paso anterior: escribir la función correcta y dejarla con una sola variable. Esta página va sobre esa secuencia.
Seis pasos. Los tres primeros son de lectura y son los que deciden el ejercicio; los tres últimos son mecánicos.
Se lee el enunciado y se escribe con letras qué representa cada cantidad desconocida, con sus unidades. Un problema de optimización mal resuelto casi siempre empieza aquí, porque quien no nombra las variables acaba mezclando el número de unidades con el precio por unidad. Escribir dos líneas de más al principio ahorra el ejercicio entero.
Es la que el enunciado pide optimizar: el beneficio, el coste, el área, el gasto. Conviene reconocer las tres relaciones que aparecen una y otra vez en estos problemas: el ingreso es el precio por la cantidad vendida, el beneficio es el ingreso menos el coste, y el coste medio por unidad es el coste total dividido entre las unidades. Con esas tres se monta la mayoría de los enunciados de empresa.
Si la función tiene dos incógnitas, en algún sitio del enunciado hay una relación entre ellas: un presupuesto que no se puede pasar, un perímetro fijo, una cantidad total de material. Se despeja una en esa relación y se sustituye en la función. Derivar una función de dos variables no está en el temario, así que si después de este paso siguen apareciendo dos letras, el planteamiento está mal.
Un número de unidades no puede ser negativo, un precio tampoco, y muchas veces el enunciado pone un tope. Ese intervalo hace falta al final para descartar soluciones imposibles y para comprobar los extremos. Es el paso que más se salta y el que más veces hace que se dé por bueno un resultado absurdo.
Los puntos donde la derivada se anula son los candidatos a máximo y a mínimo. Aquí es donde hacen falta las reglas del producto, del cociente y de la cadena, y donde conviene simplificar la derivada antes de igualarla a cero, porque una fracción se anula cuando se anula su numerador. Si sale más de una solución, se guardan todas las que estén dentro del intervalo del paso anterior.
Se sustituye el candidato en la segunda derivada: si sale negativa es un máximo y si sale positiva, un mínimo. También vale estudiar el signo de la primera derivada a los dos lados. Y el último detalle, que cuesta puntos con mucha frecuencia: el enunciado a veces pregunta cuántas unidades y a veces cuál es el beneficio máximo, que son la solución y el valor de la función en ella. No son lo mismo.
| Qué es | Cómo se calcula | Para qué sirve |
|---|---|---|
| Potencia | (xn)' = n · xn−1 | La regla básica, con la que se derivan los polinomios |
| Producto | (u · v)' = u' · v + u · v' | Cuando la función es un producto que no compensa desarrollar |
| Cociente | (u / v)' = (u' · v − u · v') / v2 | En los costes medios, que son un cociente casi siempre |
| Regla de la cadena | (f(u))' = f'(u) · u' | Cuando hay una función dentro de otra |
| Exponencial y logaritmo | (ex)' = ex ; (ln x)' = 1 / x | En los modelos de crecimiento y en las funciones de demanda |
| Signo de la primera derivada | f' > 0 crece ; f' < 0 decrece | Para estudiar la monotonía y localizar los extremos |
| Signo de la segunda derivada | f'' > 0 abre hacia arriba ; f'' < 0 abre hacia abajo | Para la curvatura y para clasificar los puntos críticos |
| Punto de inflexión | f'' = 0 y cambia de signo | Donde la curvatura se da la vuelta |
En un punto donde la primera derivada se anula, la segunda decide: negativa es máximo y positiva es mínimo. Si la segunda también se anula, hay que mirar cómo cambia el signo de la primera alrededor del punto. Sobre la curvatura, cuidado con el nombre: la mayoría de los libros llaman convexa a la que abre hacia arriba y cóncava a la que abre hacia abajo, pero hay libros que lo dicen justo al revés. Describir la forma no falla; el nombre depende de con qué libro estudies.
Mientras queden dos letras, la derivada no significa nada. Falta usar la condición del enunciado para despejar una en función de la otra. Es el fallo que más ejercicios de optimización invalida, y se detecta antes de derivar simplemente mirando cuántas letras hay.
Si preguntan cuántas unidades hay que producir, la respuesta es la solución de la ecuación. Si preguntan cuál es el beneficio máximo, hay que sustituir esa solución en la función. Responder solo una de las dos cosas cuando piden las dos deja medio apartado sin puntuar.
Igualar la derivada a cero da candidatos, no la respuesta. Hay que justificar con la segunda derivada o con el signo de la primera cuál de ellos es el máximo. Los enunciados de selectividad piden razonadamente casi siempre, y sin esa comprobación el apartado se puntúa incompleto aunque el número esté bien.
Una ecuación puede dar como solución un número negativo de unidades o un precio negativo. Matemáticamente es correcto y en el contexto del problema no vale. Hay que descartarlo y decir por qué, no borrarlo sin más.
En el numerador va la derivada del de arriba por el de abajo menos el de arriba por la derivada del de abajo, en ese orden. Cambiar el orden invierte el signo de toda la derivada, y con el signo cambiado un máximo pasa a parecer un mínimo. Los costes medios son cocientes, así que en CCSS esta regla sale muchísimo.
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