Tema 2.2 · Análisis · Matemáticas CCSS
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El método, en corto
Cada paso, explicado y con sus trampas, más abajo.
En Matemáticas de Ciencias Sociales las derivadas se piden de dos maneras: sueltas, para estudiar el crecimiento y la curvatura de una función, y metidas dentro de un problema de empresa. Un coste que hay que hacer mínimo, un beneficio que hay que hacer máximo, un número de unidades que conviene fabricar. Todos esos enunciados se resuelven con la misma secuencia de seis pasos, y el punto delicado no es la derivada sino lo que va antes y después: escribir la función con una sola variable, vigilar el intervalo en el que tiene sentido y contestar con las unidades del enunciado. Esta página va sobre esa secuencia, con un problema de examen resuelto.
Seis pasos. Los tres primeros son de lectura y son los que deciden el ejercicio; los tres últimos son mecánicos.
Se lee el enunciado y se escribe con letras qué representa cada cantidad desconocida, con sus unidades. Si no se nombran las variables, es fácil acabar mezclando el número de unidades con el precio por unidad. Escribir dos líneas de más al principio ahorra el ejercicio entero.
Es la que el enunciado pide optimizar: el beneficio, el coste, el área, el gasto. Conviene tener a mano tres relaciones básicas: el ingreso es el precio por la cantidad vendida, el beneficio es el ingreso menos el coste, y el coste medio por unidad es el coste total dividido entre las unidades. Con ellas se monta la función de un enunciado de empresa.
Si la función tiene dos incógnitas, en algún sitio del enunciado hay una relación entre ellas: un presupuesto que no se puede pasar, un perímetro fijo, una cantidad total de material. Se despeja una en esa relación y se sustituye en la función. Derivar una función de dos variables no está en el temario, así que si después de este paso siguen apareciendo dos letras, el planteamiento está mal.
Un número de unidades no puede ser negativo, un precio tampoco, y el enunciado puede poner un tope. Ese intervalo hace falta al final para descartar soluciones imposibles y para comprobar los extremos. Si se salta, se puede dar por bueno un resultado absurdo.
Los puntos donde la derivada se anula son los candidatos a máximo y a mínimo. Aquí es donde hacen falta las reglas del producto, del cociente y de la cadena, y donde conviene simplificar la derivada antes de igualarla a cero, porque una fracción se anula cuando se anula su numerador. Si sale más de una solución, se guardan todas las que estén dentro del intervalo del paso anterior.
Se sustituye el candidato en la segunda derivada: si sale negativa es un máximo y si sale positiva, un mínimo. También vale estudiar el signo de la primera derivada a los dos lados. Y un último detalle, que cuesta puntos: el enunciado a veces pregunta cuántas unidades y a veces cuál es el beneficio máximo, que son la solución y el valor de la función en ella. No son lo mismo.
Enunciado de la PAU de Galicia 2026, convocatoria ordinaria, pregunta 3, opción 3.1 (3 puntos, versión en castellano del examen): «El beneficio de una empresa depende básicamente de sus ventas. Cuando las ventas son pequeñas, el beneficio puede ser negativo debido a los costes fijos. También puede ser negativo cuando las ventas son grandes debido al aumento de los costes de producción. El beneficio diario de una empresa, en cientos de euros, viene dado por la función B(x) = −x2 + 10x − 16, donde x son los miles de unidades vendidas al día, con 1 ≤ x ≤ 9. 3.1.1. ¿A cuánto asciende el beneficio máximo que puede obtener la empresa? ¿Cuántas unidades debe vender para alcanzarlo? Contextualice las respuestas. 3.1.2. Determine los valores de x para los que la empresa obtiene beneficios positivos. Contextualice la respuesta. 3.1.3. Calcule el beneficio medio (Bm) obtenido por la empresa cuando vende entre 3000 y 7000 unidades, sabiendo que viene dado por Bm = 1/(7 − 3) · (integral de 3 a 7 de B(x) dx).»
x va en miles de unidades y B en cientos de euros, y el problema solo tiene sentido para 1 ≤ x ≤ 9. Las tres cosas hacen falta al contestar: un 5 no son 5 unidades y un 9 no son 9 euros.
B'(x) = −2x + 10. B'(x) = 0 da x = 5, que está dentro de [1, 9].
B''(x) = −2, negativa, así que en x = 5 hay un máximo. Como el intervalo es cerrado, se miran también los bordes: B(1) = −1 + 10 − 16 = −7 y B(9) = −81 + 90 − 16 = −7. Ninguno supera al valor en x = 5.
B(5) = −25 + 50 − 16 = 9. Quedarse en «x = 5» es dar el punto cuando piden también el valor: el segundo error de la lista de abajo.
9 cientos de euros son 900 € y 5 miles de unidades son 5000 unidades. El beneficio máximo diario es de 900 € y se alcanza vendiendo 5000 unidades al día.
−x2 + 10x − 16 = 0 equivale a x2 − 10x + 16 = 0, y x = (10 ± √100 − 64) / 2 = (10 ± 6) / 2, es decir, x = 2 y x = 8. Los dos están dentro de [1, 9].
La parábola abre hacia abajo y B(5) = 9 es positivo, así que B(x) > 0 entre las dos raíces: 2 < x < 8. La empresa tiene beneficios positivos cuando vende entre 2000 y 8000 unidades al día; con 2000 o con 8000 exactas, el beneficio es cero.
Una primitiva es −x3/3 + 5x2 − 16x. En 7: −343/3 + 245 − 112 = −343/3 + 133 = 56/3. En 3: −9 + 45 − 48 = −12. La integral vale 56/3 − (−12) = 56/3 + 36/3 = 92/3.
Bm = (92/3) / 4 = 23/3 ≈ 7,67 cientos de euros, unos 767 €. Resultado: beneficio máximo de 900 € vendiendo 5000 unidades; beneficio positivo entre 2000 y 8000 unidades; beneficio medio de unos 767 € al día cuando se venden entre 3000 y 7000 unidades.
Si la variable está limitada a un intervalo cerrado, los extremos del intervalo también son candidatos, aunque la derivada no se anule en ellos.
La derivada igual a cero localiza los puntos donde la función se da la vuelta. Si dentro del intervalo la función solo sube, o solo baja, no hay ninguno de esos puntos, y el mayor valor se alcanza justo donde se acaba el intervalo.
Con el beneficio del ejercicio de abajo, B(x) = −x2 + 10x − 16, pero limitando la venta a 6 ≤ x ≤ 9 (ejemplo inventado para verlo, no es del examen): B'(x) = −2x + 10 se anula en x = 5, que está fuera. En [6, 9] la derivada es negativa y la función solo baja, así que el máximo está en x = 6: B(6) = −36 + 60 − 16 = 8, frente a B(9) = −81 + 90 − 16 = −7.
Se calculan los puntos donde se anula la derivada que caen dentro del intervalo, se evalúa la función en ellos y en los dos extremos, y se elige el mayor o el menor según lo pedido. Con esa tabla de valores la respuesta queda justificada aunque el óptimo esté en el borde.
| Qué es | Cómo se calcula | Para qué sirve |
|---|---|---|
| Potencia | (xn)' = n · xn−1 | La regla básica, con la que se derivan los polinomios |
| Producto | (u · v)' = u' · v + u · v' | Cuando la función es un producto que no compensa desarrollar |
| Cociente | (u / v)' = (u' · v − u · v') / v2 | En los costes medios, que son un cociente |
| Regla de la cadena | (f(u))' = f'(u) · u' | Cuando hay una función dentro de otra |
| Exponencial y logaritmo | (ex)' = ex ; (ln x)' = 1 / x | En los modelos de crecimiento y en las funciones de demanda |
| Signo de la primera derivada | f' > 0 crece ; f' < 0 decrece | Para estudiar la monotonía y localizar los extremos |
| Signo de la segunda derivada | f'' > 0 abre hacia arriba ; f'' < 0 abre hacia abajo | Para la curvatura y para clasificar los puntos críticos |
| Punto de inflexión | f'' = 0 y cambia de signo | Donde la curvatura se da la vuelta |
En un punto donde la primera derivada se anula, la segunda decide: negativa es máximo y positiva es mínimo. Si la segunda también se anula, hay que mirar cómo cambia el signo de la primera alrededor del punto. El nombre de la curvatura (convexa o cóncava) cambia según el libro; está explicado en la página de funciones y representación.
Mientras queden dos letras, la derivada no significa nada. Falta usar la condición del enunciado para despejar una en función de la otra. Es un fallo que invalida el ejercicio, y se detecta antes de derivar simplemente mirando cuántas letras hay.
Si preguntan cuántas unidades hay que producir, la respuesta es la solución de la ecuación. Si preguntan cuál es el beneficio máximo, hay que sustituir esa solución en la función. Responder solo una de las dos cosas cuando piden las dos deja medio apartado sin puntuar.
Igualar la derivada a cero da candidatos, no la respuesta. Hay que justificar con la segunda derivada o con el signo de la primera cuál de ellos es el máximo. Cuando el enunciado pide la respuesta razonada, sin esa comprobación el apartado se puntúa incompleto aunque el número esté bien.
Una ecuación puede dar como solución un número negativo de unidades o un precio negativo. Matemáticamente es correcto y en el contexto del problema no vale. Hay que descartarlo y decir por qué, no borrarlo sin más.
En el numerador va la derivada del de arriba por el de abajo menos el de arriba por la derivada del de abajo, en ese orden. Cambiar el orden invierte el signo de toda la derivada, y con el signo cambiado un máximo pasa a parecer un mínimo. Los costes medios son cocientes, así que esta regla hace falta para derivarlos.
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¿Te sabes lo que hay que saber antes de escribir la primera línea? Qué mide la derivada, qué regla pide cada forma, qué dice el signo de f' y el de f'', y qué hay que hacer antes de derivar en un problema de empresa. Se contesta marcando.
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Si la función es una parábola, el vértice da el resultado directamente, y eso es válido. Pero conviene derivar igualmente porque los enunciados piden el razonamiento, y en cuanto la función deja de ser de segundo grado la derivada es el método general.
Las reglas son las mismas, pero el repertorio de funciones es más corto. Andalucía y Madrid, en sus documentos para 2026, enumeran funciones polinómicas, racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas, sin trigonométricas; el currículo estatal tampoco las nombra. Mira las orientaciones de tu comunidad. A cambio, los problemas vienen con contexto, como costes o beneficios, y buena parte de la dificultad está en traducir el enunciado a una función.
Como el ritmo al que cambia la magnitud cuando se produce una unidad más. Por eso a la derivada del coste se le llama coste marginal, y a la del ingreso, ingreso marginal. Si el enunciado pide esa interpretación, se contesta con una frase y con las unidades del problema.
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