Tema 2.3 · Análisis · Matemáticas CCSS
El método, en corto
Cada paso, explicado y con sus trampas, más abajo.
Representar una función no es dibujar bonito: es contestar por orden a seis preguntas y dejar que el dibujo salga solo. Dónde está definida, por dónde corta a los ejes, a qué rectas se acerca, dónde sube y dónde baja, dónde se curva hacia arriba y hacia abajo, y con todo eso, cómo queda. En la PAU de Ciencias Sociales las funciones son casi siempre racionales, así que el dominio sale de anular el denominador y las asíntotas se deciden comparando los grados del numerador y del denominador.
Seis pasos y siempre en este orden. Cada uno aporta una pieza del dibujo, y saltarse uno deja la gráfica sin decidir en alguna zona.
En una función racional se anula el denominador y se quitan esas x. En una raíz de índice par se exige que el radicando sea mayor o igual que cero, y en un logaritmo que el argumento sea estrictamente mayor que cero. El dominio manda sobre todo lo demás: no tiene sentido estudiar el crecimiento en un punto donde la función no existe.
El corte con el eje Y es f(0), si el 0 está en el dominio. Los cortes con el eje X salen de resolver f(x) = 0, que en una función racional es anular el numerador. Son puntos seguros de la gráfica, los únicos que se conocen exactamente.
Están en los valores que anulan el denominador y no anulan el numerador. Conviene calcular los límites laterales para saber si la curva se va hacia arriba o hacia abajo a cada lado, porque eso es lo que se dibuja.
Se comparan los grados. Si el numerador tiene menor grado, la asíntota horizontal es y = 0. Si tienen el mismo grado, es el cociente de los coeficientes principales. Si el numerador tiene exactamente un grado más, no hay horizontal pero sí oblicua. En una función racional no puede haber las dos.
Se calcula f'(x), se resuelve f'(x) = 0 y se estudia el signo de la derivada en los intervalos que quedan, incluyendo como frontera los puntos que no están en el dominio. Donde la derivada es positiva la función crece y donde es negativa decrece; el cambio de signo de más a menos es un máximo y de menos a más un mínimo.
Se resuelve f''(x) = 0 y se mira el signo a cada lado. Donde f'' es positiva la curva va hacia arriba y donde es negativa va hacia abajo; si cambia de signo hay punto de inflexión. Con esto ya se puede unir todo: cortes, extremos y asíntotas, respetando la curvatura de cada tramo.
En una función racional, comparar los grados del numerador y del denominador decide el tipo de asíntota antes de calcular ningún límite.
| Tipo de asíntota | Cuándo existe | Cómo se calcula |
|---|---|---|
| Vertical: x = a | El denominador se anula en a y el numerador no | Se estudian los límites laterales en a para ver hacia dónde se dispara |
| Hueco (no es asíntota) | Numerador y denominador se anulan a la vez en a | Se simplifica la fracción; queda una discontinuidad evitable |
| Horizontal: y = 0 | Grado del numerador menor que el del denominador | El límite en el infinito vale 0 |
| Horizontal: y = L | Grados iguales | L es el cociente de los coeficientes principales |
| Oblicua: y = mx + n | Grado del numerador exactamente uno más | Se dividen los polinomios: el cociente es la asíntota |
| Oblicua por límites | La misma condición anterior | m = lím f(x)/x y n = lím [f(x) − m·x], con x tendiendo a infinito |
| Ni horizontal ni oblicua | El numerador supera al denominador en dos grados o más | La rama se va al infinito sin acercarse a ninguna recta |
Una función racional puede tener varias verticales, pero horizontal y oblicua nunca a la vez: o el límite en el infinito es finito, o la rama se escapa siguiendo una recta inclinada.
Cuando el numerador tiene exactamente un grado más que el denominador, divide los dos polinomios: la función queda como el cociente más un resto partido por el denominador. Ese cociente es la asíntota oblicua, porque el trozo que sobra tiende a cero cuando x se va al infinito. Con f(x) = (x² + 1)/(x − 1), la división da x² + 1 = (x − 1)(x + 1) + 2, o sea f(x) = x + 1 + 2/(x − 1), y la asíntota es y = x + 1 sin haber escrito ni un límite. El método de los límites, con m = lím f(x)/x y n = lím [f(x) − m·x], da lo mismo pero tarda el triple; conviene tenerlo a mano por si el enunciado pide justificarlo así.
Una rama no puede acercarse a dos rectas distintas a la vez. Si al comparar los grados sale asíntota horizontal, la oblicua no existe y no hay que calcular nada más. Ponerse a calcular m y n en ese caso solo gasta tiempo y suele acabar en un resultado sin sentido.
Si numerador y denominador se anulan en el mismo valor, ahí hay un hueco, no una asíntota. Hay que simplificar la fracción primero y estudiar lo que queda. Comprobar el numerador antes de declarar la asíntota es un paso de diez segundos.
Los valores que no están en el dominio parten la recta real igual que los puntos críticos, aunque la derivada no se anule en ellos. Si no se meten como frontera, el estudio del crecimiento sale mal justo en la zona de la asíntota.
Un máximo relativo es el mayor valor en un entorno del punto, no en toda la función. Con una asíntota vertical al lado, la función puede tomar valores mucho mayores. En este temario se piden los extremos relativos salvo que el enunciado hable de un intervalo cerrado.
Que f'(x) se anule en un punto no garantiza que ahí haya máximo o mínimo: si la derivada no cambia de signo, es un punto de inflexión con tangente horizontal. El caso típico es f(x) = x³ en el origen. La clasificación exige mirar el signo a los dos lados o usar la segunda derivada.
Un máximo o un mínimo es un punto del plano, así que hay que sustituir en la función y dar las dos coordenadas. Escribir «máximo en x = −1» deja el apartado a medias; lo correcto es «máximo en (−1, 2)».
Los libros no se ponen de acuerdo con «cóncava» y «convexa». Lo que nunca falla es describirlo: con f'' positiva la curva va hacia arriba, y con f'' negativa hacia abajo. Escribirlo así en el examen se entiende siempre y evita el problema.
Se iguala el denominador a cero, se resuelve y se quitan esas soluciones. El dominio es todo el conjunto de los números reales menos esos valores.
Cuando el grado del numerador supera en exactamente uno al del denominador, y por tanto no hay asíntota horizontal. Se calcula dividiendo los polinomios: el cociente de la división es la recta buscada.
En las funciones racionales del temario, no: o el límite en el infinito es un número finito y hay horizontal, o la rama se escapa siguiendo una recta inclinada y hay oblicua.
Se calcula la primera derivada, se resuelve f'(x) = 0 y se estudia el signo de la derivada en cada intervalo, tomando como fronteras esos puntos y también los que quedan fuera del dominio. Derivada positiva significa que crece y negativa que decrece.
Con el signo de la derivada a los dos lados: si pasa de positiva a negativa es un máximo, y si pasa de negativa a positiva es un mínimo. También sirve la segunda derivada: negativa en el punto indica máximo y positiva indica mínimo.
El punto donde la curva cambia de curvatura, es decir, donde f''(x) se anula y además cambia de signo. Que la segunda derivada se anule no basta: si no cambia de signo, no hay inflexión.
Son el límite acercándose por la izquierda y por la derecha de un punto. En una asíntota vertical dicen si la curva se va hacia más infinito o hacia menos infinito por cada lado, que es justo lo que hay que dibujar. En una función definida a trozos sirven para comprobar si es continua en el punto de cambio.
Dominio, cortes con los ejes, asíntotas, monotonía y extremos con la primera derivada, curvatura y puntos de inflexión con la segunda, y por último el dibujo uniendo toda esa información. Ese orden es el que se puntúa, porque cada paso se apoya en el anterior.
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