Tema 3.1 · Vibraciones, ondas y óptica · Física
El movimiento armónico simple es de los temas más agradecidos de Física: hay pocas fórmulas, no cambian de un problema a otro y casi todos los apartados se resuelven sustituyendo. Lo que decide la nota no es entenderlo, es tener la hoja de fórmulas en la cabeza y saber cuál toca en cada caso, porque las de velocidad son tres y se parecen mucho. Aquí están todas juntas y ordenadas por lo que te piden, con el detalle de cuándo se usa cada una y qué le pasa a la energía cuando cambias la amplitud.
Ordenadas por lo que te piden. La columna de la derecha es la que evita el error de coger la fórmula de al lado.
| Qué se calcula | Fórmula | Cuándo se usa |
|---|---|---|
| Posición | x = A · cos(ωt + φ) | Siempre que den el tiempo y pidan dónde está |
| Velocidad en un instante | v = −A · ω · sen(ωt + φ) | Cuando dan el tiempo, no la posición |
| Velocidad en una posición | v = ω · raíz(A2 − x2) | Cuando dan x y piden v sin decir el instante |
| Aceleración | a = −ω2 · x | Sale de la posición, sin pasar por el tiempo |
| Velocidad máxima | v(max) = A · ω | En el centro, cuando x = 0 |
| Aceleración máxima | a(max) = A · ω2 | En los extremos, cuando x = ±A |
| Periodo y frecuencia | T = 2π / ω = 1 / f | Para pasar de ω a segundos y a hercios |
| Energía total | E = ½ · m · ω2 · A2 | Es constante: no depende de dónde esté |
| Energía cinética | Ec = ½ · m · ω2 · (A2 − x2) | Máxima en el centro, cero en los extremos |
| Energía potencial | Ep = ½ · k · x2 | Cero en el centro, máxima en los extremos |
| Muelle | ω = raíz(k / m) | T = 2π · raíz(m / k) | Cuando el enunciado da la constante del muelle |
| Péndulo simple | T = 2π · raíz(L / g) | Solo para oscilaciones pequeñas, hasta unos 15° |
A es la amplitud en metros, ω la frecuencia angular en radianes por segundo y φ la fase inicial en radianes. Ojo a las unidades: la amplitud suele venir en centímetros en el enunciado y hay que pasarla a metros antes de meterla en cualquier fórmula de energía, porque va elevada al cuadrado y el error se multiplica.
Antes de tocar nada, busca ω. Está escondida en todos los enunciados: si dan el periodo, ω = 2π/T; si dan la frecuencia, ω = 2πf; si dan un muelle con su constante, ω = raíz(k/m); y si dan directamente la ecuación del movimiento, ω es el número que multiplica a la t dentro del coseno. En cuanto la tienes, el resto son sustituciones: la velocidad máxima, la aceleración máxima, la energía total y el periodo salen los cuatro de ω y de la amplitud. Empezar por cualquier otro sitio es lo que hace que un ejercicio de dos minutos se atasque.
Las tres preguntas de razonar que más se repiten en este tema, con la respuesta y el motivo.
Durante la oscilación la energía va pasando de potencial a cinética y al revés, pero la suma no cambia. Y como en la fórmula la amplitud está elevada al cuadrado, si duplicas la amplitud la energía no se duplica: se hace cuatro veces mayor. Es una pregunta clásica de razonar y se falla mucho respondiendo que se duplica.
En sitios opuestos, y eso es lo que hay que tener claro. La velocidad es máxima en el centro, donde la energía es toda cinética, y vale cero en los extremos. La aceleración es al revés: cero en el centro y máxima en los extremos, porque es proporcional al desplazamiento y apunta siempre hacia el centro.
En la fórmula solo aparecen la longitud del hilo y la gravedad, así que colgar el doble de masa no cambia nada: la masa se cancela al plantear la ecuación del movimiento. Tampoco cambia si lo separas más, siempre que el ángulo se mantenga pequeño, en torno a los quince grados. Por encima de eso deja de ser armónico simple y la fórmula ya no vale.
El del péndulo depende de la gravedad, así que en la Luna, donde g es menor, el mismo péndulo tarda más en cada oscilación. El del muelle no depende de la gravedad en absoluto: solo de la masa y de la constante del muelle, y por eso funciona igual en la Tierra que en órbita.
La velocidad máxima es un número fijo, A por ω, y solo se alcanza al pasar por el centro. La velocidad en un instante lleva el seno delante y sale otra cosa. Meter la fórmula de la máxima cuando el enunciado da un tiempo concreto es un fallo muy habitual.
Muchos enunciados dan la amplitud en centímetros y las fórmulas van en metros. En la energía además está al cuadrado, así que el resultado no sale cien veces mayor sino diez mil veces mayor. Conviene pasar todo a metros nada más leer el problema, antes de escribir la primera fórmula.
En el periodo del péndulo simple solo entran la longitud y la gravedad. Si el enunciado da la masa es para despistar, o para otro apartado. Dividir por la masa aquí es un error que se ve mucho y que además contradice lo que se pide razonar justo después.
Dentro del coseno hay radianes, no grados. Con la calculadora en grados, un x = 3·cos(5t) evaluado en t = 2 da un número perfectamente creíble y perfectamente equivocado. Es un fallo silencioso, porque el resultado no parece raro y nadie lo revisa.
La aceleración es proporcional y de signo contrario al desplazamiento: si la partícula está a la derecha del centro, la aceleración apunta a la izquierda. Ese signo es lo que hace que el movimiento sea armónico, y quitarlo convierte la respuesta de un apartado de razonar en incorrecta aunque el número esté bien.
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