Tema 4.2 · Probabilidad y estadística · Matemáticas II
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El método, en corto
Cada paso, explicado y con sus trampas, más abajo.
Los dos teoremas se aplican sobre el mismo diagrama de árbol y con los mismos números, y esa es justamente la razón por la que se confunden. La diferencia es la dirección de la pregunta. La probabilidad total va hacia adelante: conoces las causas y quieres la probabilidad del efecto. Bayes va hacia atrás: sabes que el efecto ha ocurrido y quieres saber de qué causa vino. Entender esa dirección antes de escribir nada convierte un ejercicio que parece de fórmulas en uno de lectura, porque el enunciado dice en qué sentido pregunta.
Las cuatro van encadenadas. Cada una hace falta para entender la siguiente, y la última es Bayes.
La probabilidad de un suceso condicionada a otro es la probabilidad de que ocurra el primero sabiendo que el segundo ya ha ocurrido. Al condicionar se reduce el espacio: dejas de mirar todos los casos y miras solo los del suceso que das por hecho. De ahí sale la fórmula, que es la probabilidad de que ocurran los dos dividida entre la del que ya sabes. La barra no es simétrica: P(A | B) y P(B | A) son números distintos.
Para poder aplicar los dos teoremas, las causas tienen que ser incompatibles entre sí y cubrir todas las posibilidades. Es decir, que no puedan darse dos a la vez y que alguna se dé seguro. En el enunciado eso aparece como tres máquinas que fabrican todas las piezas, dos urnas de las que se elige una, o tres proveedores que surten toda la mercancía. Si las probabilidades del primer nivel no suman uno, o falta una causa que el enunciado da por sobreentendida, o se ha leído como porcentaje del total uno que era de otra cosa.
Cuando quieres la probabilidad de un suceso que puede llegar por varias causas distintas, se calcula la de cada camino —la probabilidad de la causa por la del suceso dentro de esa causa— y se suman todos. Multiplicar dentro de cada rama y sumar entre ramas: ese es el resumen del teorema. El resultado es una probabilidad global, sin condicionar a nada.
Bayes pregunta por la probabilidad de una causa sabiendo que el efecto ha ocurrido. Se calcula dividiendo la probabilidad de ese camino concreto entre la probabilidad total del efecto, que es la suma de todos los caminos. Por eso el denominador de Bayes es siempre el resultado del teorema anterior: en la práctica, un ejercicio de Bayes es un ejercicio de probabilidad total con una división más al final. Funciona igual con dos causas que con más: el denominador lleva un sumando por cada causa.
Los dos teoremas usan el mismo árbol y los mismos productos, así que la única decisión real es en qué dirección se pregunta. Si el enunciado describe las causas y pide la probabilidad del resultado —una pieza cualquiera sale defectuosa, un alumno cualquiera aprueba—, va hacia adelante y se resuelve sumando todos los caminos: eso es la probabilidad total. Si en cambio te dice que el resultado ya ha ocurrido y pregunta de dónde vino —ha salido defectuosa, de qué máquina procede—, va hacia atrás y hay que dividir ese camino entre la suma de todos: eso es Bayes. Las expresiones que lo delatan son sabiendo que, si ha resultado, dado que o si es, puestas delante del efecto: entonces es Bayes. Si la pregunta es solo cuál es la probabilidad de que ocurra algo, sin nada dado por hecho, es probabilidad total. La pista está en el enunciado, no en los números, y por eso conviene subrayarla antes de escribir la primera fórmula.
Se escriben con una letra las causas y con otra el suceso observado, y se anota al lado lo que significa cada una en palabras. Parece un trámite, pero es lo que evita confundir las dos condicionadas. En un examen corregido a mano, además, los sucesos definidos valen puntos por sí solos aunque el resultado final salga mal.
Del punto inicial salen tantas ramas como causas haya, y en cada una se pone su probabilidad. Esas probabilidades tienen que sumar uno. Si el enunciado las da en porcentajes, se pasan a tanto por uno antes de seguir, porque mezclar porcentajes y decimales dentro del árbol es un error difícil de detectar después.
De cada rama del primer nivel salen dos: que ocurra el suceso observado o que no ocurra. Esas dos tienen que sumar uno dentro de cada rama, no entre ramas distintas. Las probabilidades del segundo nivel son las que el enunciado da con expresiones del tipo el dos por ciento de las piezas de esa máquina son defectuosas.
La probabilidad de recorrer un camino completo es el producto de las probabilidades que hay a lo largo de él. Cada camino corresponde a que ocurran las dos cosas a la vez: esa causa y ese resultado. Conviene calcular todos los caminos aunque el ejercicio pregunte por uno, porque los apartados siguientes pueden necesitarlos.
Eso es la probabilidad total. Si el ejercicio pide únicamente la probabilidad de que una pieza sea defectuosa, aquí ha terminado. Es el momento de comprobar que el resultado está entre cero y uno y que tiene un tamaño razonable: si las tres máquinas fallan poco, la probabilidad global tiene que ser pequeña.
Cuando el enunciado dice sabiendo que ha resultado defectuosa, cuál es la probabilidad de que venga de la segunda máquina, se divide el camino de esa máquina entre la suma de todos. El denominador es el número que acabas de calcular en el paso anterior, así que si el ejercicio tiene los dos apartados, el segundo se apoya en el primero.
Enunciado de la PAU de Madrid 2025, convocatoria ordinaria (pregunta 4.2). «Entre los ciudadanos de 14 años o más de cierto país, el 20% de la población tiene entre 14 y 24 años, el 50% entre 25 y 64 años y el resto más de 64 años. Según datos recogidos por el ministerio de cultura de ese país, el 74% de sus ciudadanos de entre 14 y 24 es lector habitual, mientras que el porcentaje decrece hasta el 65.8% entre los de 25 a 64 y al 53.7% entre los mayores de 64. Elegido un ciudadano al azar del país en cuestión de 14 años o más, se pide: a) (1.25 puntos) Calcular la probabilidad de que sea lector habitual. b) (1.25 puntos) Si no es lector habitual, calcular la probabilidad de que tenga entre 25 y 64 años.»
J: tener entre 14 y 24 años. M: tener entre 25 y 64. S: tener más de 64. L: ser lector habitual. Las tres edades son las causas: no se pueden dar dos a la vez y cubren a todos los ciudadanos del enunciado.
P(J) = 0,2 y P(M) = 0,5. «El resto» es 100 − 20 − 50 = 30 por ciento, así que P(S) = 0,3. Comprobación: 0,2 + 0,5 + 0,3 = 1.
De J sale lector con 0,74 y no lector con 1 − 0,74 = 0,26. De M, 0,658 y 0,342. De S, 0,537 y 0,463. Cada pareja suma 1 dentro de su rama. Todo va en tanto por uno: multiplicar 0,2 por 74 en vez de por 0,74 daría 14,8, cien veces más, que es el error de mezclar porcentajes y decimales.
Caminos que acaban en lector: 0,2·0,74 = 0,148; 0,5·0,658 = 0,329; 0,3·0,537 = 0,1611. Caminos que acaban en no lector: 0,2·0,26 = 0,052; 0,5·0,342 = 0,171; 0,3·0,463 = 0,1389. Se calculan todos porque el apartado b) necesita los segundos.
P(L) = 0,148 + 0,329 + 0,1611 = 0,6381. La pregunta va hacia adelante: nadie dice qué edad tiene la persona, y se suma por todas las causas.
«Si no es lector habitual» da el efecto por ocurrido y pregunta por la causa: es Bayes, con el suceso contrario. El denominador es la probabilidad total de no ser lector: P(no L) = 1 − 0,6381 = 0,3619, que coincide con sumar sus tres caminos, 0,052 + 0,171 + 0,1389.
P(M | no L) = 0,171 / 0,3619 ≈ 0,4725. Dos fallos posibles en este punto: dejar en el denominador solo la rama de M, que da 0,171 / 0,171 = 1; o dividir entre P(L) = 0,6381 en vez de entre P(no L), que da 0,268 y no responde a lo que se pregunta. Tampoco vale contestar 0,342: eso es la probabilidad de no ser lector sabiendo la edad, la condicionada al revés.
P(J | no L) = 0,052 / 0,3619 ≈ 0,1437 y P(S | no L) = 0,1389 / 0,3619 ≈ 0,3838. Con la de M: 0,1437 + 0,4725 + 0,3838 = 1. Si no sumara 1, habría un error en el denominador.
a) P(lector habitual) = 0,6381. b) P(entre 25 y 64 años | no es lector habitual) ≈ 0,4725.
Son números distintos y muchas veces muy distintos. Que el dos por ciento de las piezas de una máquina salgan defectuosas no significa que el dos por ciento de las piezas defectuosas vengan de esa máquina. Esa segunda pregunta es la de Bayes, y responderla con el dato del enunciado sin dividir es un error.
El denominador es la probabilidad total del suceso observado, o sea la suma de todos los caminos que llevan a él, no solo el de la causa por la que preguntan. Si en el denominador pones solo ese camino, el resultado sale exactamente 1, que es la señal de que algo va mal.
Dentro de una rama se multiplica, porque son sucesos que ocurren a la vez. Entre ramas distintas se suma, porque son alternativas incompatibles. Invertir las dos operaciones puede dar resultados mayores que uno, y ese es el aviso más fácil de ver al revisar.
Si el primer nivel va en tanto por uno y el segundo en porcentaje, el producto queda cien veces más grande de lo que debería. Pasar todo a decimales nada más leer el enunciado es rápido y evita un fallo que arrastra todos los apartados.
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¿Sabes en qué dirección pregunta el enunciado antes de ponerte a calcular? Cuándo se suman los caminos del árbol, cuándo se divide entre la suma y qué va en el denominador de Bayes. Se contesta marcando.
Hacer el test de Probabilidad total y Bayes →La regla · 10 preguntas · 5 minutos
No, pero es un camino rápido y seguro. Un árbol bien montado deja el ejercicio en multiplicar y sumar, y además se corrige mejor porque el corrector ve de dónde sale cada número. Con dos causas también sirve una tabla de contingencia. Si vas directo a la fórmula, escríbela completa antes de sustituir números: el riesgo es dejarse sumandos del denominador, que es justo lo que el árbol evita.
Tiene que estar entre cero y uno, y si sumas las probabilidades de todas las causas condicionadas al mismo efecto tiene que dar exactamente uno. Esa suma es una comprobación rápida cuando el ejercicio pregunta por varias causas.
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