Tema 4.2 · Estadística y probabilidad · Matemáticas II
Los dos teoremas se aplican sobre el mismo diagrama de árbol y con los mismos números, y esa es justamente la razón por la que se confunden. La diferencia es la dirección de la pregunta. La probabilidad total va hacia adelante: conoces las causas y quieres la probabilidad del efecto. Bayes va hacia atrás: sabes que el efecto ha ocurrido y quieres saber de qué causa vino. Entender esa dirección antes de escribir nada convierte un ejercicio que parece de fórmulas en uno de lectura, porque el enunciado dice en qué sentido pregunta.
Las cuatro van encadenadas. Cada una hace falta para entender la siguiente, y la última es Bayes.
La probabilidad de un suceso condicionada a otro es la probabilidad de que ocurra el primero sabiendo que el segundo ya ha ocurrido. Al condicionar se reduce el espacio: dejas de mirar todos los casos y miras solo los del suceso que das por hecho. De ahí sale la fórmula, que es la probabilidad de que ocurran los dos dividida entre la del que ya sabes. La barra no es simétrica, y esa asimetría es el origen de casi todos los fallos del tema.
Para poder aplicar los dos teoremas, las causas tienen que ser incompatibles entre sí y cubrir todas las posibilidades. Es decir, que no puedan darse dos a la vez y que alguna se dé seguro. En el enunciado eso aparece como tres máquinas que fabrican todas las piezas, dos urnas de las que se elige una, o tres proveedores que surten toda la mercancía. Si las probabilidades del primer nivel no suman uno, o falta una causa o has leído mal.
Cuando quieres la probabilidad de un suceso que puede llegar por varias causas distintas, se calcula la de cada camino —la probabilidad de la causa por la del suceso dentro de esa causa— y se suman todos. Multiplicar dentro de cada rama y sumar entre ramas: ese es el resumen del teorema. El resultado es una probabilidad global, sin condicionar a nada.
Bayes pregunta por la probabilidad de una causa sabiendo que el efecto ha ocurrido. Se calcula dividiendo la probabilidad de ese camino concreto entre la probabilidad total del efecto, que es la suma de todos los caminos. Por eso el denominador de Bayes es siempre el resultado del teorema anterior: en la práctica, un ejercicio de Bayes es un ejercicio de probabilidad total con una división más al final.
Los dos teoremas usan el mismo árbol y los mismos productos, así que la única decisión real es en qué dirección se pregunta. Si el enunciado describe las causas y pide la probabilidad del resultado —una pieza cualquiera sale defectuosa, un alumno cualquiera aprueba—, va hacia adelante y se resuelve sumando todos los caminos: eso es la probabilidad total. Si en cambio te dice que el resultado ya ha ocurrido y pregunta de dónde vino —ha salido defectuosa, de qué máquina procede—, va hacia atrás y hay que dividir ese camino entre la suma de todos: eso es Bayes. La pista está en el tiempo verbal del enunciado, no en los números, y por eso conviene subrayarla antes de escribir la primera fórmula.
Se escriben con una letra las causas y con otra el suceso observado, y se anota al lado lo que significa cada una en palabras. Parece un trámite, pero es lo que evita el fallo más caro del tema. En un examen corregido a mano, además, los sucesos definidos valen puntos por sí solos aunque el resultado final salga mal.
Del punto inicial salen tantas ramas como causas haya, y en cada una se pone su probabilidad. Esas probabilidades tienen que sumar uno. Si el enunciado las da en porcentajes, se pasan a tanto por uno antes de seguir, porque mezclar porcentajes y decimales dentro del árbol es un error difícil de detectar después.
De cada rama del primer nivel salen dos: que ocurra el suceso observado o que no ocurra. Esas dos tienen que sumar uno dentro de cada rama, no entre ramas distintas. Las probabilidades del segundo nivel son las que el enunciado da con expresiones del tipo el dos por ciento de las piezas de esa máquina son defectuosas.
La probabilidad de recorrer un camino completo es el producto de las probabilidades que hay a lo largo de él. Cada camino corresponde a que ocurran las dos cosas a la vez: esa causa y ese resultado. Conviene calcular todos los caminos aunque el ejercicio pregunte por uno, porque los apartados siguientes suelen necesitarlos.
Eso es la probabilidad total. Si el ejercicio pide únicamente la probabilidad de que una pieza sea defectuosa, aquí ha terminado. Es el momento de comprobar que el resultado está entre cero y uno y que tiene un tamaño razonable: si las tres máquinas fallan poco, la probabilidad global tiene que ser pequeña.
Cuando el enunciado dice sabiendo que ha resultado defectuosa, cuál es la probabilidad de que venga de la segunda máquina, se divide el camino de esa máquina entre la suma de todos. El denominador es el número que acabas de calcular en el paso anterior, así que si el ejercicio tiene los dos apartados, el segundo se apoya en el primero.
Son números distintos y muchas veces muy distintos. Que el dos por ciento de las piezas de una máquina salgan defectuosas no significa que el dos por ciento de las piezas defectuosas vengan de esa máquina. Esa segunda pregunta es la de Bayes, y responderla con el dato del enunciado sin dividir es el fallo más repetido del tema.
El denominador es la probabilidad total del suceso observado, o sea la suma de todos los caminos que llevan a él, no solo el de la causa por la que preguntan. Si el denominador es una sola rama, el resultado sale uno o algo cercano, que es la señal de que algo va mal.
Dentro de una rama se multiplica, porque son sucesos que ocurren a la vez. Entre ramas distintas se suma, porque son alternativas incompatibles. Invertir las dos operaciones da resultados mayores que uno con bastante frecuencia, y ese es el aviso más fácil de ver al revisar.
Si el primer nivel va en tanto por uno y el segundo en porcentaje, el producto queda cien veces más grande de lo que debería. Pasar todo a decimales nada más leer el enunciado cuesta diez segundos y evita un fallo que arrastra todos los apartados.
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