Tema 4.3 · Estadística y probabilidad · Matemáticas II
El método, en corto
Cada paso, explicado y con sus trampas, más abajo.
Este apartado se juega en una sola decisión: si la variable cuenta cuántas veces pasa algo en n intentos, es binomial y se resuelve con la fórmula de los combinatorios; si la variable mide algo que puede tomar cualquier valor (alturas, pesos, notas, tiempos), es normal y se resuelve tipificando y mirando la tabla. Tipificar es restar la media y dividir entre la desviación típica, y la tabla siempre devuelve la probabilidad acumulada hacia la izquierda, P(Z ≤ z). Con la campana dibujada y sombreada al lado, el resto son sumas y restas.
Cuatro pasos que valen para cualquier apartado de normal, se pida «menos de», «más de» o «entre dos valores».
Anota N(μ, σ) con los datos del enunciado y haz un dibujo rápido de la campana con la media en el centro. Sombrea la zona que te piden. Este dibujo no puntúa, pero es lo que decide si al final hay que restar de 1 o no, y cuesta diez segundos.
Resta la media y divide entre la desviación típica: Z = (X − μ) / σ. El número que sale es cuántas desviaciones típicas se separa tu valor de la media. Si sale negativo, tu valor está por debajo de la media, y eso es normal y esperable, no un error.
La tabla da P(Z ≤ z), la probabilidad acumulada por la izquierda. Si piden «menos de», ese valor ya es la respuesta. Si piden «más de», réstalo de 1. Si piden «entre a y b», tipifica los dos, busca los dos y resta el pequeño del grande.
Las tablas suelen recoger solo valores positivos. Como la campana es simétrica, P(Z ≤ −z) = 1 − P(Z ≤ z). Por ejemplo, P(Z ≤ −1) = 1 − 0,8413 = 0,1587. Es un paso más, no una fórmula nueva.
Lo único que hay que llevar sabido de este tema. Todo lo demás sale de la tabla de la normal.
| Qué se calcula | Fórmula | Detalle que se olvida |
|---|---|---|
| Probabilidad exacta en una binomial | P(X = k) = C(n,k) · pk · qn−k | q = 1 − p, y C(n,k) es la tecla nCr de la calculadora |
| Media de una binomial | μ = n · p | Es el número de éxitos que cabe esperar, no una probabilidad |
| Desviación típica de una binomial | σ = √n · p · q | Dentro de la raíz van los tres factores, no solo n·p |
| «Al menos un éxito» | P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) | P(X = 0) = qn, porque C(n,0) = 1 |
| Tipificar en la normal | Z = (X − μ) / σ | Abajo va la desviación típica, nunca la varianza |
| Valor que da la tabla | P(Z ≤ z) | Siempre acumula hacia la izquierda |
| Simetría de la campana | P(Z ≤ −z) = 1 − P(Z ≤ z) | Es lo que permite usar la tabla con valores negativos |
| Probabilidad entre dos valores | P(a < X < b) = P(Z ≤ z_b) − P(Z ≤ z_a) | Se tipifican los dos extremos por separado |
| Aproximación de la binomial | B(n, p) ≈ N(n·p, √n·p·q) | Solo si n·p ≥ 5 y n·q ≥ 5 |
| Corrección de continuidad | P(X ≥ k) se calcula como P(X ≥ k − 0,5) | Se pasa de contar a medir: el medio punto ensancha el intervalo |
La media y la desviación típica de la binomial son justamente las que se le ponen a la normal en la aproximación. No hay que calcular nada nuevo: se reaprovechan.
Elegir mal la distribución no es un error de cálculo: es empezar el ejercicio por el camino equivocado y perderlo entero.
Si la variable es «cuántos de los 20 tornillos salen defectuosos» o «cuántas veces sale cara en 10 tiradas», la variable solo toma valores enteros: cuenta. Eso es una binomial, y necesita tres datos, n, p y k. Si la variable es «cuánto pesa un recién nacido» o «cuánto dura una bombilla», puede tomar cualquier valor intermedio: mide. Eso es una normal, y necesita la media y la desviación típica.
Se repite el mismo experimento un número fijo de veces, cada repetición solo tiene dos resultados posibles (éxito o fracaso), la probabilidad de éxito es la misma en todas y unas repeticiones no influyen en otras. Si el enunciado saca bolas sin devolverlas, la probabilidad cambia en cada extracción y ya no es binomial.
Calcular P(X ≥ 75) en una B(200, 0,4) exigiría sumar más de cien combinatorios. Cuando n es grande, la binomial ya tiene forma de campana, así que se sustituye por la normal que tiene su misma media y su misma desviación típica y se resuelve con la tabla en dos líneas. La condición que se pide en bachillerato es que n·p y n·q sean ambos mayores o iguales que 5; algunos libros la escriben con desigualdad estricta.
La binomial solo toma valores enteros y la normal cubre todos los intermedios. Al cambiar una por otra, cada valor entero se convierte en un intervalo de anchura 1 centrado en él, así que el 75 pasa a ser el tramo de 74,5 a 75,5. Por eso P(X ≥ 75) se calcula como P(X ≥ 74,5) y P(X ≤ 75) como P(X ≤ 75,5): el intervalo se ensancha medio punto hacia el lado que hay que incluir.
Cuando buscas 1,5 en la tabla y sale 0,9332, eso no es la probabilidad de que Z valga 1,5: es la probabilidad de que Z sea menor o igual que 1,5, es decir, el área de toda la campana a la izquierda de ese punto. En una distribución continua la probabilidad de un valor exacto es cero, y por eso da igual escribir P(Z ≤ z) que P(Z < z).
En Z = (X − μ) / σ el denominador es la desviación típica. Si el enunciado da la varianza, hay que hacerle la raíz antes de dividir. Es un fallo silencioso: el resultado sale perfectamente creíble y perfectamente equivocado.
Conviene mirar cómo está escrita la distribución en el enunciado antes de tocarla. En la PAU se escribe casi siempre N(media, desviación típica), de modo que en N(170, 10) la desviación típica es 10, no 100. Si en algún enunciado el segundo número es la varianza, lo dirá con esa palabra.
Al aproximar una binomial por una normal hay que sumar o restar 0,5. Es un detalle que el corrector valora precisamente porque casi nadie se acuerda, y cambia la tercera cifra del resultado. Si no se aproxima nada y el ejercicio es de normal desde el principio, esta corrección no se aplica.
Un peso, una altura o un tiempo no se pueden contar en éxitos y fracasos: no hay una binomial detrás por muchos datos que dé el enunciado. La pista es la pregunta: si pregunta «cuántos», cuenta; si pregunta «cuánto», mide.
La tabla da la probabilidad de quedarse por debajo, así que «más de» es 1 menos ese valor. Sin el dibujo de la campana sombreada es fácil dar la respuesta a la pregunta contraria, que además suele salir un número razonable y no chirría.
En una binomial, «al menos un éxito» se calcula como 1 − P(X = 0), y P(X = 0) es simplemente q elevado a n. Sumar P(X=1) + P(X=2) + … es correcto pero se hace eterno, y cada término añadido es una oportunidad más de equivocarse.
Restando la media y dividiendo entre la desviación típica: Z = (X − μ) / σ. Así se pasa de tu distribución concreta a la normal estándar N(0,1), que es la única que está tabulada.
Cuando n·p ≥ 5 y n·q ≥ 5. Si se cumple, la binomial B(n, p) se sustituye por la normal de media n·p y desviación típica la raíz de n·p·q, y hay que aplicar la corrección de continuidad.
Es sumar o restar 0,5 al valor al pasar de la binomial, que es discreta, a la normal, que es continua. Se usa solo cuando se está haciendo esa aproximación. Para «al menos 75» se calcula la normal a partir de 74,5, y para «como mucho 75» hasta 75,5.
Aprovechar la simetría de la campana: P(Z ≤ −z) = 1 − P(Z ≤ z). Se busca el valor positivo en la tabla y se resta de 1.
Se tipifican los dos extremos, se buscan las dos probabilidades acumuladas en la tabla y se resta la del extremo inferior a la del superior. El dibujo de la campana con la franja sombreada enseña de un vistazo cuál se resta a cuál.
Se busca en la tabla el valor de z que corresponde a esa probabilidad, se escribe la igualdad de tipificación con ese z y se despeja la incógnita. Es el mismo paso de siempre, pero leyendo la tabla al revés: de la probabilidad hacia el z.
La media es μ = n·p y la desviación típica es σ = √n·p·q, con q = 1 − p. Son también los dos parámetros que se le dan a la normal cuando se hace la aproximación.
Porque en una distribución continua la probabilidad de un valor exacto es cero: un punto no tiene área bajo la curva. En la binomial no ocurre eso, y ahí sí importa si el valor entra o no entra.
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