Tema 4.1 · Estadística y probabilidad · Matemáticas II
El método, en corto
Cada paso, explicado y con sus trampas, más abajo.
Es el apartado con menos fórmulas de todo el examen y el que más nota tira, porque casi nunca falla la cuenta: falla la lectura del enunciado. Todo el tema descansa sobre tres cosas: la unión resta la intersección, la condicionada divide la intersección entre la probabilidad de la condición, y dos sucesos son independientes cuando la intersección coincide con el producto. Con eso resuelto, la mayoría de los apartados salen en dos líneas, y los que parecen largos suelen acortarse pasando al suceso contrario.
«Al menos uno» obliga a sumar muchos casos: uno, dos, tres… El contrario de «al menos uno» es «ninguno», y «ninguno» es un solo caso. Por eso el camino corto es siempre el mismo: calcula la probabilidad de que no ocurra ninguno y réstala de 1. En el lanzamiento de tres monedas, «al menos una cara» sale de 1 menos la probabilidad de tres cruces, que es 1 − (1/2)³ = 7/8, sin escribir ni un caso favorable. La misma idea sirve para «alguno», «como mínimo uno» y «al menos una vez»: son la misma pregunta con otras palabras, y el contrario siempre es «ninguno».
Todo el tema cabe en esta tabla. Lo que cambia de un ejercicio a otro es cuál de las filas hay que despejar.
| Qué se pide | Fórmula | Cuándo se usa |
|---|---|---|
| Probabilidad de un suceso | P(A) = casos favorables / casos posibles | Solo si todos los resultados son igual de probables (regla de Laplace) |
| Suceso contrario | P(no A) = 1 − P(A) | Cuando el enunciado dice «al menos» o «alguno» |
| Unión (que ocurra alguno) | P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) | Siempre; la resta evita contar dos veces la parte común |
| Unión de incompatibles | P(A ∪ B) = P(A) + P(B) | Solo si no pueden ocurrir a la vez, es decir, P(A ∩ B) = 0 |
| Probabilidad condicionada | P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B) | Cuando el enunciado da un dato por sabido: «sabiendo que», «de los que» |
| Intersección (regla del producto) | P(A ∩ B) = P(B) · P(A | B) | Al multiplicar por las ramas de un diagrama de árbol |
| Independencia | P(A ∩ B) = P(A) · P(B) | Para comprobar si son independientes, o para calcular la intersección si ya te dicen que lo son |
| Otra forma de la independencia | P(A | B) = P(A) | Equivale a la anterior: saber que ocurrió B no cambia nada |
| Leyes de De Morgan | P(no A ∩ no B) = 1 − P(A ∪ B) | Para pasar de «ni uno ni otro» a una unión que sí sabes calcular |
La fila de la condicionada y la de la intersección son la misma igualdad despejada de dos maneras. Si te sabes una, tienes las dos.
Es un apartado corto que se resuelve siempre igual, y en el que se pierden puntos por contestar de memoria en vez de comprobarlo.
Muchas veces la intersección no la dan directamente: la escondes en una unión o en una condicionada. Si te dan P(A ∪ B), despeja la intersección de la fórmula de la unión. Si te dan P(A | B), multiplica por P(B). No se puede decidir nada hasta tener los tres valores.
Si el producto coincide con P(A ∩ B), los sucesos son independientes. Si no coincide, no lo son. No hay término medio ni «casi independientes»: es una igualdad que se cumple o no se cumple.
El corrector busca ver los dos números enfrentados. Basta con una línea del tipo «P(A)·P(B) = 0,2 y P(A ∩ B) = 0,2, luego son independientes». Contestar solo «sí son independientes» deja el apartado sin justificar, que es donde se descuenta.
Incompatibles significa que no pueden ocurrir a la vez, es decir, P(A ∩ B) = 0. Independientes significa que uno no influye en el otro, es decir, P(A ∩ B) = P(A)·P(B). Son cosas distintas, y de hecho dos sucesos con probabilidad no nula que sean incompatibles no pueden ser independientes: si ocurre uno, el otro es imposible, así que sí influye.
P(A | B) y P(B | A) no valen lo mismo salvo casualidad. La barra se lee «sabiendo que», y lo que va detrás de la barra es lo que ya ha ocurrido, que además es lo que va en el denominador. Leer el enunciado marcando cuál es el dato conocido antes de escribir la fracción evita casi todos los fallos de este tema.
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) solo vale si los sucesos son incompatibles. En cualquier otro caso hay que restar P(A ∩ B), porque la zona común se está contando en los dos sumandos. Una pista de que has olvidado la resta: te sale una probabilidad mayor que 1.
La regla del producto general es P(A ∩ B) = P(B)·P(A | B). El atajo P(A)·P(B) solo es correcto cuando los sucesos son independientes o el enunciado lo dice. En las extracciones sin reemplazo no lo son: la segunda probabilidad cambia porque queda una bola menos.
Frases como «de los que practican deporte, el 30 % toca un instrumento» no dan una probabilidad suelta: dan una condicionada. Ese 30 % es P(instrumento | deporte), y para llegar a la intersección hay que multiplicarlo por el porcentaje de los que practican deporte. Tomarlo como probabilidad directa cambia el resultado entero.
En un diagrama de árbol, las ramas que salen de un mismo nudo tienen que sumar 1. Es la comprobación más rápida que existe, se hace en cinco segundos y caza los errores de planteamiento antes de arrastrarlos por todo el ejercicio.
Incompatibles quiere decir que no pueden ocurrir a la vez: su intersección es cero. Independientes quiere decir que uno no cambia la probabilidad del otro: la intersección vale el producto de las dos probabilidades. Son propiedades distintas, y confundirlas es el fallo más repetido del tema.
Se divide la probabilidad de la intersección entre la probabilidad de la condición: P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B). Lo que va detrás de la barra es lo que ya se sabe que ha ocurrido, y es siempre lo que va abajo en la fracción.
Se calcula P(A)·P(B) y se compara con P(A ∩ B). Si los dos números coinciden, son independientes. Hay que escribir la comparación en el examen: sin ella el apartado queda sin justificar aunque la conclusión sea correcta.
Pasar al suceso contrario, que es «ninguno», calcular su probabilidad y restarla de 1. Sale mucho más corto que sumar todos los casos favorables y se equivoca menos gente.
Se multiplican cuando se piden dos cosas a la vez, que es la intersección, y se suman cuando se pide una u otra, que es la unión. La palabra «y» apunta al producto y la palabra «o» a la suma, aunque en la suma haya que restar después la parte común.
Con reemplazo la bola vuelve a la urna, así que las probabilidades no cambian de una extracción a otra y las extracciones son independientes. Sin reemplazo cambia el total y también los favorables, de forma que la segunda probabilidad es condicionada: hay que multiplicar por ramas.
Para transformar un suceso difícil en otro fácil. «Ni A ni B» es lo mismo que «no ocurre A ∪ B», así que su probabilidad es 1 − P(A ∪ B). Y «no ocurren los dos a la vez» es 1 − P(A ∩ B). Sirven cuando el enunciado está escrito en negativo.
No. La regla de Laplace exige que todos los resultados sean igual de probables, como en un dado o una baraja bien barajada. Con un dado trucado o con datos dados en porcentajes no vale contar casos: hay que trabajar con las probabilidades que dé el enunciado.
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