Tema 3.1 · Probabilidad · Matemáticas CCSS
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El método, en corto
Cada paso, explicado y con sus trampas, más abajo.
En Matemáticas CCSS la probabilidad llega con contexto: una empresa que tiene tres proveedores, una encuesta con hombres y mujeres o dos máquinas que fabrican piezas defectuosas. Por eso lo difícil no es la fórmula, es traducir el enunciado. Y hay una buena noticia: las dos herramientas que hacen falta son el diagrama de árbol y la tabla de doble entrada. Elegir bien cuál de las dos y colocar los datos donde van resuelve el ejercicio antes de haber calculado nada. Aquí está la regla para elegir, un problema de examen resuelto con árbol, probabilidad total y Bayes, y la diferencia entre sucesos incompatibles e independientes.
La regla es sencilla. Si el enunciado describe dos etapas sucesivas —primero se elige una máquina y luego sale una pieza defectuosa, primero se coge una urna y luego una bola—, es un árbol: la primera rama lleva las probabilidades de cada etapa inicial y las segundas ramas llevan las condicionadas. Si en cambio el enunciado clasifica a un mismo grupo según dos características a la vez —hombres y mujeres que fuman o no fuman, alumnos de ciencias y de letras que aprueban o suspenden—, es una tabla de doble entrada: se rellenan los totales de filas y columnas y el resto sale restando. Cuando el problema se puede montar de las dos formas, gana la tabla, porque es más difícil equivocarse: los números tienen que cuadrar por filas y por columnas, y eso te avisa solo si te has colado.
El bloque es corto. Estas son las cinco cosas que hay que saber hacer.
Te dan una población clasificada por dos criterios y piden varias probabilidades. Lo primero es decidir si trabajas con porcentajes o con una población inventada de 100 o de 1.000 personas: con números enteros se ve mucho mejor, la tabla cuadra por filas y por columnas, y el resultado final es el mismo.
Tres proveedores, dos máquinas o dos urnas. Se dibuja el árbol, se ponen las probabilidades en cada rama y se comprueba que las ramas que salen de un mismo nudo suman uno. Cada camino completo se calcula multiplicando las ramas que lo forman.
Piden la probabilidad de algo que puede llegar por varios caminos: que una pieza sea defectuosa venga de donde venga. Se calcula cada camino y se suman todos. Es el ejercicio que prepara el siguiente, porque el resultado se reutiliza en Bayes.
Ya sabes que la pieza es defectuosa y preguntan de qué máquina salió. Se recorre el árbol al revés: arriba el camino concreto por el que preguntan, y abajo la probabilidad total que acabas de calcular.
Es un apartado corto. Basta con comprobar si la probabilidad de la intersección coincide con el producto de las dos probabilidades por separado. Si coincide, son independientes; si no, no lo son. Y hay que escribir la comprobación, no solo la conclusión.
Enunciado de la PAU de Madrid, curso 2023-2024, convocatoria ordinaria, pregunta 10 (2 puntos): «En tres tanques, A, B y C, de una piscifactoría se crían, respectivamente, el 35 %, el 20 % y el 45 % de los alevines de salmón noruego. Se sabe que el 15 % de los alevines criados en el tanque A, el 30 % de los alevines criados en el tanque B y el 25 % de los alevines criados en el tanque C miden más de 35 mm. Eligiendo al azar un alevín de salmón noruego, calcule la probabilidad de que: a) Mida más de 35 mm. b) Sabiendo que no mide más de 35 mm, proceda del tanque C.»
Hay dos etapas seguidas (primero el tanque, después la talla), así que es un árbol. A, B y C son los tanques y M, «mide más de 35 mm». Primeras ramas: P(A) = 0,35, P(B) = 0,20 y P(C) = 0,45, que suman 1.
«El 15 % de los criados en A» es P(M | A) = 0,15, no P(A ∩ M): es una condicionada y va en la rama que sale de A. Igual, P(M | B) = 0,30 y P(M | C) = 0,25. Sus contrarios completan cada nudo: P(no M | A) = 0,85, P(no M | B) = 0,70 y P(no M | C) = 0,75. Cada pareja suma 1.
A y M: 0,35 · 0,15 = 0,0525. B y M: 0,20 · 0,30 = 0,06. C y M: 0,45 · 0,25 = 0,1125.
P(M) = 0,0525 + 0,06 + 0,1125 = 0,225. Es la probabilidad total: un 22,5 % de los alevines mide más de 35 mm.
Se sabe que no mide más de 35 mm y se pregunta por el tanque: es P(C | no M), Bayes con el suceso contrario. Usar P(M) = 0,225 en el denominador y la rama 0,25 en el numerador da 0,1125 / 0,225 = 0,5, que es P(C | M): responde a otra pregunta.
P(no M) = 1 − 0,225 = 0,775. Por el árbol sale lo mismo: 0,35 · 0,85 + 0,20 · 0,70 + 0,45 · 0,75 = 0,2975 + 0,14 + 0,3375 = 0,775.
P(C | no M) = 0,45 · 0,75 / 0,775 = 0,3375 / 0,775 = 0,4355. Resultado: a) 0,225; b) 0,4355. Sabiendo que un alevín no pasa de 35 mm, la probabilidad de que venga del tanque C es de un 43,55 %.
Tres nombres que en realidad son tres momentos del mismo árbol.
Es la probabilidad de que ocurra algo sabiendo que ya ha ocurrido otra cosa. Se calcula dividiendo la probabilidad de que ocurran las dos entre la probabilidad de la que ya sabes. En la práctica, saber algo reduce el conjunto de casos posibles: dejas de mirar la población entera y miras solo la parte que cumple la condición.
Las ramas del primer nivel son probabilidades normales. Todas las ramas del segundo nivel son condicionadas, aunque el enunciado no use la palabra. Cuando lees que el 3 % de las piezas de la máquina A son defectuosas, eso ya es una condicionada, y va en la segunda rama.
Cuando un mismo resultado puede llegar por varias vías incompatibles entre sí, su probabilidad es la suma de todos los caminos que llevan hasta él. Cada camino se calcula multiplicando las ramas que lo componen. Es literalmente recorrer el árbol de izquierda a derecha y sumar los finales que te interesan.
Bayes responde a la pregunta contraria. Ya conoces el resultado final y preguntan por la causa. Arriba va el camino concreto por el que preguntan, y abajo la suma de todos los caminos que llevan a ese mismo resultado, que es justo la probabilidad total. Por eso los dos cálculos van juntos: el de Bayes reutiliza el número de la probabilidad total.
Suenan parecido y no tienen nada que ver. Uno habla de si pueden coincidir; el otro, de si uno influye en el otro.
A y B son incompatibles si no tienen ningún resultado en común, así que P(A ∩ B) = 0. Al elegir una pieza, «viene de la máquina A» y «viene de la máquina B», por ejemplo. Se usa en la unión: si son incompatibles, P(A ∪ B) = P(A) + P(B), sin restar nada.
A y B son independientes si P(A ∩ B) = P(A) · P(B), o, lo que es lo mismo, si P(A | B) = P(A). Con P(A) = 0,5, P(B) = 0,4 y P(A ∩ B) = 0,2, son independientes, porque 0,5 · 0,4 = 0,2; con P(A ∩ B) = 0,1, no.
Si son incompatibles, P(A ∩ B) = 0. Para que además fueran independientes haría falta P(A) · P(B) = 0, y eso solo pasa si uno de los dos tiene probabilidad cero. Con probabilidades positivas, saber que ha ocurrido A asegura que B no ha ocurrido: el uno influye en el otro todo lo que se puede influir.
Con la cuenta, no con la definición de memoria. Para la independencia se calcula P(A) · P(B) y se compara con P(A ∩ B). Para la incompatibilidad se mira si P(A ∩ B) vale cero. Y si el enunciado dice que A y C son incompatibles y pregunta si pueden ser independientes, la respuesta es no, salvo que alguno tenga probabilidad cero.
La probabilidad de ser defectuosa sabiendo que viene de la máquina A no es lo mismo que la probabilidad de venir de la máquina A sabiendo que es defectuosa. La primera te la dan en el enunciado; la segunda es la que te piden con Bayes. Confundirlas da un resultado que no tiene nada que ver con lo que piden.
Que ocurran las dos cosas y que ocurra una sabiendo la otra son probabilidades distintas: la segunda es la primera dividida entre la probabilidad de lo que ya sabes. En un enunciado en castellano se distinguen por una palabra, así que hay que leer despacio dónde está el 'de los que'.
Es un aviso que no cuesta nada. Si de un nudo salen dos ramas y no suman uno, hay un dato mal colocado. Comprobarlo cuesta cinco segundos y evita arrastrar el fallo a los tres apartados siguientes.
Multiplicar dos probabilidades solo vale si los sucesos son independientes. Si se extrae sin devolución, o si el enunciado da una condicionada distinta de la probabilidad suelta, no lo son. Y en ese caso hay que usar la condicionada, no el producto directo.
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¿Sabes qué te están pidiendo antes de hacer ninguna cuenta? Si es una intersección o una condicionada, en qué orden va la condicionada, cuándo dos sucesos son independientes, qué dice el complementario y cuándo toca la probabilidad total o Bayes. Se contesta marcando.
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