Tema 3.1 · Probabilidad · Matemáticas CCSS
En Matemáticas CCSS la probabilidad casi nunca llega en abstracto: llega con una empresa que tiene tres proveedores, una encuesta con hombres y mujeres o dos máquinas que fabrican piezas defectuosas. Por eso lo difícil no es la fórmula, es traducir el enunciado. Y hay una buena noticia: prácticamente todos los problemas se resuelven dibujando un diagrama de árbol o rellenando una tabla de doble entrada. Elegir bien cuál de las dos y colocar los datos donde van resuelve el ejercicio antes de haber calculado nada.
La regla es sencilla. Si el enunciado describe dos etapas sucesivas —primero se elige una máquina y luego sale una pieza defectuosa, primero se coge una urna y luego una bola—, es un árbol: la primera rama lleva las probabilidades de cada etapa inicial y las segundas ramas llevan las condicionadas. Si en cambio el enunciado clasifica a un mismo grupo según dos características a la vez —hombres y mujeres que fuman o no fuman, alumnos de ciencias y de letras que aprueban o suspenden—, es una tabla de doble entrada: se rellenan los totales de filas y columnas y el resto sale restando. Cuando el problema se puede montar de las dos formas, gana la tabla, porque es más difícil equivocarse: los números tienen que cuadrar por filas y por columnas, y eso te avisa solo si te has colado.
El bloque es corto y se repite mucho. Casi todo lo que se pregunta es una de estas cinco cosas.
Te dan una población clasificada por dos criterios y piden varias probabilidades. Lo primero es decidir si trabajas con porcentajes o con una población inventada de 100 o de 1.000 personas: con números enteros se ve mucho mejor y el resultado es el mismo.
Tres proveedores, dos máquinas o dos urnas. Se dibuja el árbol, se ponen las probabilidades en cada rama y se comprueba que las ramas que salen de un mismo nudo suman uno. Cada camino completo se calcula multiplicando las ramas que lo forman.
Piden la probabilidad de algo que puede llegar por varios caminos: que una pieza sea defectuosa venga de donde venga. Se calcula cada camino y se suman todos. Es el ejercicio que prepara el siguiente, porque el resultado se reutiliza en Bayes.
El apartado que más se atraganta. Ya sabes que la pieza es defectuosa y preguntan de qué máquina salió. Se recorre el árbol al revés: arriba el camino concreto por el que preguntan, y abajo la probabilidad total que acabas de calcular.
Se pide como apartado corto. Basta con comprobar si la probabilidad de la intersección coincide con el producto de las dos probabilidades por separado. Si coincide, son independientes; si no, no lo son. Y hay que escribir la comprobación, no solo la conclusión.
Tres nombres que en realidad son tres momentos del mismo árbol.
Es la probabilidad de que ocurra algo sabiendo que ya ha ocurrido otra cosa. Se calcula dividiendo la probabilidad de que ocurran las dos entre la probabilidad de la que ya sabes. En la práctica, saber algo reduce el conjunto de casos posibles: dejas de mirar la población entera y miras solo la parte que cumple la condición.
Las ramas del primer nivel son probabilidades normales. Todas las ramas del segundo nivel son condicionadas, aunque el enunciado no use la palabra. Cuando lees que el 3 % de las piezas de la máquina A son defectuosas, eso ya es una condicionada, y va en la segunda rama.
Cuando un mismo resultado puede llegar por varias vías incompatibles entre sí, su probabilidad es la suma de todos los caminos que llevan hasta él. Cada camino se calcula multiplicando las ramas que lo componen. Es literalmente recorrer el árbol de izquierda a derecha y sumar los finales que te interesan.
Bayes responde a la pregunta contraria. Ya conoces el resultado final y preguntan por la causa. Arriba va el camino concreto por el que preguntan, y abajo la suma de todos los caminos que llevan a ese mismo resultado, que es justo la probabilidad total. Por eso los dos apartados suelen ir seguidos: el de Bayes reutiliza el número del anterior.
La probabilidad de ser defectuosa sabiendo que viene de la máquina A no es lo mismo que la probabilidad de venir de la máquina A sabiendo que es defectuosa. La primera te la dan en el enunciado; la segunda es la que te piden con Bayes. Confundirlas es el error que más ejercicios tumba.
Que ocurran las dos cosas y que ocurra una sabiendo la otra son probabilidades distintas: la segunda es la primera dividida entre la probabilidad de lo que ya sabes. En un enunciado en castellano se distinguen por una palabra, así que hay que leer despacio dónde está el 'de los que'.
Es el aviso más barato que tienes. Si de un nudo salen dos ramas y no suman uno, hay un dato mal colocado. Comprobarlo cuesta cinco segundos y evita arrastrar el fallo a los tres apartados siguientes.
Multiplicar dos probabilidades solo vale si los sucesos son independientes. Si se extrae sin devolución, o si el enunciado da una condicionada distinta de la probabilidad suelta, no lo son. Y en ese caso hay que usar la condicionada, no el producto directo.
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