Tema 3.2 · Probabilidad · Matemáticas CCSS
Actualizado el
El método, en corto
Cada paso, explicado y con sus trampas, más abajo.
En Matemáticas CCSS este tema llega disfrazado de encuesta, de empresa o de consumo: clientes que compran online, facturas que se pagan tarde, gasto mensual, tiempos de espera. Lo primero es decidir el modelo. Si el enunciado cuenta cuántos de un grupo fijo cumplen algo, es una binomial; si mide una cantidad con media y desviación típica, es una normal; y si el grupo es de cientos o miles, la binomial se aproxima por la normal con la corrección por continuidad. Esta página enseña a tomar esa decisión, a traducir cada frase del enunciado a su cuenta y a leer la tabla en los dos sentidos, con un ejercicio de examen que junta las tres cosas.
Antes de tocar una fórmula, pregúntate qué número produce la variable. Si sale de repasar uno por uno a un grupo de tamaño fijo y apuntar cuántos cumplen algo —cuántos de 10 clientes compran online, cuántas de 20 facturas llegan con retraso, cuántos votantes de una muestra apoyan una propuesta—, el resultado es un número entero entre 0 y n, y el modelo es una binomial B(n, p): n es el tamaño del grupo y p la proporción del enunciado. Si en cambio la variable es una cantidad con decimales —el gasto mensual de un comprador, el tiempo de espera en una ventanilla, el sueldo de un empleado— y el enunciado da una media y una desviación típica, el modelo es una normal N(μ, σ) y se resuelve con la tabla. El tercer caso aparece cuando el grupo es enorme, de cientos o miles: la variable sigue siendo un recuento, pero se aproxima por una normal y hay que ajustar cada extremo medio punto. Dejar escrito el modelo, X ~ B(n, p) o X ~ N(μ, σ), antes de operar tiene puntuación propia en el ejercicio de abajo: 0,25 puntos del apartado c) i).
Al aproximar una binomial X por una normal Y, cada valor entero k ocupa el tramo de k − 0,5 a k + 0,5. La regla es incluir o dejar fuera ese tramo entero según lo que diga la frase.
| Frase del enunciado | En la binomial | Con la normal aproximada |
|---|---|---|
| Exactamente 60 | P(X = 60) | P(59,5 < Y < 60,5) |
| Como mucho 60, a lo sumo 60 | P(X ≤ 60) | P(Y < 60,5): el 60 entra |
| Menos de 60 | P(X ≤ 59) | P(Y < 59,5): el 60 no entra |
| Al menos 60, como mínimo 60 | P(X ≥ 60) | P(Y > 59,5): el 60 entra |
| Más de 60 | P(X ≥ 61) | P(Y > 60,5): el 60 no entra |
| Entre 50 y 60, los dos incluidos | P(50 ≤ X ≤ 60) | P(49,5 < Y < 60,5) |
| Más de 50 pero a lo sumo 60 | P(51 ≤ X ≤ 60) | P(50,5 < Y < 60,5) |
Truco para no equivocarse: primero se reescribe la frase con «≥» y «≤» sobre enteros, como en la columna del medio, y solo entonces se amplía medio punto hacia fuera en cada extremo. En una variable que es normal desde el principio, como un gasto o un tiempo, no se corrige nada.
Enunciado de la PAU de Andalucía 2026, convocatoria ordinaria, ejercicio 3, apartado B (2 puntos): «Sean A y B dos sucesos del espacio muestral asociado a un experimento aleatorio. Se sabe que P(A) es el doble de P(B), P(Bc/A) = 0.75 y P(A ∩ B) = 0.2. a) (0.5 puntos) Calcule la probabilidad de que ocurra B. b) (0.5 puntos) Calcule la probabilidad de que no ocurra ni A ni B. ¿Son los sucesos Ac y Bc incompatibles? c) Si el experimento se realiza 1350 veces de forma independiente: i) (0.25 puntos) Determine la distribución de la variable aleatoria X: «Número de veces que ocurre B». ii) (0.75 puntos) Calcule la probabilidad de que B ocurra a lo sumo 580 veces, pero más de 499 veces.»
P(Bc | A) = 0,75, así que P(B | A) = 1 − 0,75 = 0,25. Como P(A ∩ B) = P(A) · P(B | A), 0,2 = P(A) · 0,25 y P(A) = 0,2 / 0,25 = 0,8.
P(A) es el doble de P(B): P(B) = 0,8 / 2 = 0,4.
«Ni A ni B» es Ac ∩ Bc, el contrario de A ∪ B. P(A ∪ B) = 0,8 + 0,4 − 0,2 = 1, así que P(Ac ∩ Bc) = 1 − 1 = 0.
La probabilidad de que ocurran a la vez Ac y Bc es 0: en cada repetición ocurre A o B, así que Ac y Bc son incompatibles.
Cada repetición tiene dos resultados (ocurre B o no), las 1350 son independientes y la probabilidad de B es siempre 0,4. X cuenta cuántas veces ocurre B: X ~ B(1350; 0,4).
Sumar a mano las 81 probabilidades binomiales que van de 500 a 580 no es razonable, así que se aproxima. n · p = 1350 · 0,4 = 540 ≥ 5 y n · (1 − p) = 1350 · 0,6 = 810 ≥ 5. Media 540 y desviación típica √1350 · 0,4 · 0,6 = √324 = 18: X se aproxima por Y ~ N(540, 18).
«Más de 499» empieza en 500 y deja fuera el 499; «a lo sumo 580» incluye el 580. Es P(500 ≤ X ≤ 580), que con la corrección pasa a P(499,5 < Y < 580,5). Restar medio punto a 499, y empezar en 498,5, metería el 499 que el enunciado excluye; no corregir nada es olvidar la corrección, el último error de la lista de abajo.
z1 = (499,5 − 540) / 18 = −40,5 / 18 = −2,25. z2 = (580,5 − 540) / 18 = 40,5 / 18 = 2,25. El intervalo queda simétrico respecto a la media.
P(Z < 2,25) = 0,9878, y por simetría P(Z < −2,25) = 1 − 0,9878 = 0,0122. P(−2,25 < Z < 2,25) = 0,9878 − 0,0122 = 0,9756. Resultado: a) P(B) = 0,4; b) 0, y Ac y Bc son incompatibles; c) X ~ B(1350; 0,4), y la probabilidad pedida es aproximadamente 0,9756.
Los documentos oficiales de algunas comunidades fijan la condición y el trato de la corrección. Si la tuya dice otra cosa, vale la suya.
Las directrices de Andalucía para 2025-2026 piden comprobar que n · p ≥ 5 y n · (1 − p) ≥ 5 antes de aproximar, y usar la corrección por continuidad. Con n = 1350 y p = 0,4 salen 540 y 810: se cumple de sobra. Con n = 20 y p = 0,1, n · p = 2 y no se aproxima: se hace con la binomial. Hay libros que la escriben con desigualdad estricta o que añaden un mínimo para n.
La que tiene la misma media y la misma desviación típica que la binomial: μ = n · p y σ = √n · p · (1 − p). Dentro de la raíz van los tres factores, y lo que sale ya es la desviación típica, la que se usa para tipificar.
El documento de la comisión de Madrid para 2026 avisa de que, si la corrección por continuidad (Yates) es necesaria, se penaliza no aplicarla. En Andalucía forma parte del procedimiento que piden las directrices.
Cuando la probabilidad que se busca no aparece tal cual dentro de la tabla, las directrices de Andalucía dan por buenos dos caminos: interpolar entre los dos valores vecinos o quedarse con el más cercano. 0,90 queda entre 0,8997 (z = 1,28) y 0,9015 (z = 1,29), más cerca de la primera.
Unos enunciados dan el valor y piden la probabilidad; otros dan la probabilidad y piden el valor o la desviación típica. En los segundos la tabla se lee desde dentro hacia el borde.
Estar en el 10 % de arriba es dejar por debajo al 90 %. Se busca 0,90 dentro de la tabla, no 0,10: el más cercano es 0,8997, en la fila 1,2 y la columna 0,08, así que z = 1,28. Con z = −1,28 se obtendría el límite del 10 % de abajo, que es la respuesta a otra pregunta.
De z = (x − μ) / σ se despeja x = μ + z · σ. Ejemplo propio, no de examen: si los sueldos de una empresa siguen una N(1500, 200) en euros, el sueldo a partir del cual está el 10 % mejor pagado es 1500 + 1,28 · 200 = 1756 €.
En la PAU de Castilla y León 2026, ordinaria, cuestión 3.2 a), el gasto mensual de los compradores online sigue una normal de media 275 € y el 69,15 % gasta menos de 300 €. En la tabla, 0,6915 está en z = 0,50, así que (300 − 275) / σ = 0,5 y σ = 25 / 0,5 = 50 €.
Si el enunciado dice que el tiempo de espera en una oficina tiene media 12 minutos y varianza 9, la desviación típica es 3, y es la que va en Z = (X − μ) / σ. Para esperar más de 15 minutos, z = (15 − 12) / 3 = 1 y la probabilidad es 1 − 0,8413 = 0,1587. Con 9 abajo sale z = 0,33 y una probabilidad de 0,37, que parece razonable y está mal.
La tabla da la probabilidad de quedar por debajo. Si preguntan por los que superan un valor, la respuesta es 1 menos lo que da la tabla. Un esbozo de la campana con la zona pedida sombreada dice de antemano si el resultado tiene que ser mayor o menor que 0,5.
Si al tipificar sale −1 y la tabla solo trae valores positivos, P(Z < −1) no es 0,8413 sino 1 − 0,8413 = 0,1587. Un valor por debajo de la media deja a su izquierda menos de la mitad.
En una binomial los valores sueltos tienen probabilidad. Si 10 clientes compran online cada uno con p = 0,4, «al menos 4» es P(X ≥ 4), que incluye el 4, y «más de 4» es P(X ≥ 5), que no. En la normal esa diferencia no existe, porque un valor exacto tiene probabilidad cero.
Con n = 1350 no se suman probabilidades una a una: se aproxima. Con n = 10 y p = 0,4, n · p = 4 no llega a 5, y la cuenta se hace con la fórmula o con la tabla de la binomial.
Al pasar de contar a medir, cada extremo se mueve medio punto hacia fuera si el valor entra y hacia dentro si no entra. Saltárselo cambia el resultado y, en comunidades como Madrid, se penaliza.
Nivel 1 gratis
¿Sabes qué modelo es cada problema antes de calcular? Cuándo una variable es binomial y cuándo es normal, qué va debajo al tipificar, qué da la tabla, qué hacer con una z negativa y cuándo se puede aproximar una binomial por una normal. Se contesta marcando.
Hacer el test de Distribuciones: binomial y normal →La regla · 10 preguntas · 5 minutos
Con la z ya calculada y redondeada a dos decimales, se parte en dos trozos: las unidades y el primer decimal se buscan en la columna de la izquierda, y el segundo decimal en la fila de arriba. Para z = 2,25, fila 2,2 y columna 0,05: 0,9878. Ese número es la probabilidad de quedar por debajo de z; para la de quedar por encima se resta de 1, y para una z negativa se usa la de la z positiva restada de 1.
Todo esto desarrollado paso a paso, con los trucos que ahorran tiempo, los errores señalados donde se cometen y ejercicios tipo PAU resueltos. Disponible próximamente.