Tema 4.1 · Inferencia estadística · Matemáticas CCSS
Este bloque tiene fama de fácil porque se resuelve sustituyendo en una fórmula corta, y esa fama es la que hace que se pierdan puntos. Los cálculos salen casi solos; lo que se falla son las preguntas de interpretación: qué significa el noventa y cinco por ciento, qué le pasa al intervalo si aumentas la muestra, por qué el número que acompaña a la desviación cambia según el enunciado. Aquí está primero la teoría, porque en inferencia entender de dónde sale la fórmula es lo que evita usarla mal.
Cuatro ideas encadenadas. La cuarta es la que más se pregunta y la que peor se responde.
Si tomas una muestra y calculas su media, y luego tomas otra y calculas la suya, los dos números no coinciden. La media muestral cambia de una muestra a otra, así que tiene su propia distribución. Toda la inferencia se apoya en esa idea: no se estudia la población directamente, se estudia cómo se comportan las medias de las muestras que salen de ella.
Si la población es normal, la media de las muestras de tamaño n sigue también una normal, con la misma media que la población y con la desviación típica dividida entre la raíz del tamaño de la muestra. Y si la población no es normal, el teorema central del límite dice que a partir de muestras de treinta individuos la media se comporta igual que si lo fuera. Por eso los enunciados dicen o que la población es normal o que la muestra es grande.
El nivel de confianza es la proporción de casos en los que el procedimiento acierta. Si se fija en el noventa y cinco por ciento, queda un cinco por ciento repartido entre las dos colas de la normal, dos y medio en cada una, y el valor de la tabla que deja esa cola es 1,96. De ahí sale ese número, y de la misma cuenta salen el 1,645 del noventa por ciento y el 2,575 del noventa y nueve. No son constantes que haya que memorizar sueltas: dependen del nivel que pida el enunciado.
La media de la población es un número fijo, aunque no lo conozcas. Lo que cambia de una muestra a otra es el intervalo que construyes. Decir que hay un noventa y cinco por ciento de probabilidad de que la media esté dentro de un intervalo ya calculado es la interpretación que se corrige como incorrecta: lo que tiene ese noventa y cinco por ciento es el método, que acierta en esa proporción de las muestras posibles.
| Qué se calcula | Fórmula | Cuándo se usa |
|---|---|---|
| Intervalo para la media | media ± z · sigma / raíz(n) | Cuando se conoce la desviación típica de la población |
| Error máximo admisible | E = z · sigma / raíz(n) | Es la mitad del intervalo, no el intervalo entero |
| Amplitud del intervalo | amplitud = 2 · E | Cuando el enunciado da la longitud total del intervalo |
| Tamaño mínimo de la muestra | n ≥ (z · sigma / E)2 | Cuando fijan el error y preguntan cuántos individuos hacen falta |
| Intervalo para una proporción | p ± z · raíz(p · (1 − p) / n) | Cuando lo que se estima es un porcentaje |
| Nivel de confianza del 90 % | z = 1,645 | Deja un 5 % en cada cola |
| Nivel de confianza del 95 % | z = 1,96 | Deja un 2,5 % en cada cola; es el más frecuente |
| Nivel de confianza del 99 % | z = 2,575 | Deja un 0,5 % en cada cola |
El tamaño de la muestra sale casi siempre con decimales, y se redondea siempre hacia arriba: si la cuenta da 62,3, hacen falta 63 individuos. Redondear hacia abajo deja el error por encima del que pedía el enunciado.
En la fórmula del intervalo, la desviación típica va dividida entre la raíz del tamaño de la muestra. Es el error de cálculo más repetido del bloque y da un intervalo mucho más estrecho de lo que debería, que además parece razonable a simple vista y por eso no se detecta al revisar.
El error es lo que se suma y se resta a la media, así que el intervalo mide el doble. Si el enunciado dice que la amplitud es cuatro unidades, el error es dos. Meter la amplitud donde va el error duplica el resultado del tamaño muestral, que queda cuatro veces mayor porque va al cuadrado.
El número que multiplica depende del nivel de confianza que pida el enunciado, y hay que repartir lo que queda fuera entre las dos colas. Coger de la tabla el valor que deja fuera el cinco por ciento entero en vez del dos y medio de cada lado es el fallo de interpretación más común, y da 1,645 donde tenía que ir 1,96.
El tamaño se redondea siempre al entero superior, aunque los decimales sean pequeños. Con el entero inferior el error se pasa del máximo que fijaba el enunciado, así que la respuesta no cumple la condición que pedían. Se pierde el apartado por un detalle de una línea.
Subirlo hace el intervalo más ancho, o sea menos preciso. Se gana seguridad y se pierde exactitud, y las dos cosas no se pueden mejorar a la vez sin aumentar la muestra. Es la pregunta razonada más frecuente del bloque y se responde al revés con mucha frecuencia.
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