Tema 4.1 · Inferencia estadística · Matemáticas CCSS
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El método, en corto
Cada paso, explicado y con sus trampas, más abajo.
Este bloque tiene fama de fácil porque se resuelve sustituyendo en una fórmula corta, y esa fama es la que hace que se pierdan puntos. Los cálculos salen casi solos; lo delicado son las preguntas de interpretación: qué significa el noventa y cinco por ciento, qué le pasa al intervalo si aumentas la muestra, por qué el número que acompaña a la desviación cambia según el enunciado. Aquí está primero la teoría, porque en inferencia entender de dónde sale la fórmula es lo que evita usarla mal.
Tres ideas encadenadas.
Si tomas una muestra y calculas su media, y luego tomas otra y calculas la suya, los dos números no coinciden. La media muestral cambia de una muestra a otra, así que tiene su propia distribución. Toda la inferencia se apoya en esa idea: no se estudia la población directamente, se estudia cómo se comportan las medias de las muestras que salen de ella.
Si la población es normal, la media de las muestras de tamaño n sigue también una normal, con la misma media que la población y con la desviación típica dividida entre la raíz del tamaño de la muestra. Y si la población no es normal, el teorema central del límite dice que a partir de muestras de treinta individuos la media se comporta igual que si lo fuera. Por eso los enunciados dicen o que la población es normal o que la muestra es grande.
El nivel de confianza es la proporción de casos en los que el procedimiento acierta. Si se fija en el noventa y cinco por ciento, queda un cinco por ciento repartido entre las dos colas de la normal, dos y medio en cada una. La tabla da la probabilidad de quedar por debajo de z, así que se busca 0,95 + 0,025 = 0,975, y aparece en la fila 1,9 y la columna 0,06: z = 1,96. Con el noventa por ciento se busca 0,95, que cae entre 1,64 y 1,65, y se toma 1,645. Con el noventa y nueve se busca 0,995, que cae entre 2,57 y 2,58; el valor exacto es 2,5758, y se toma 2,576. No son constantes sueltas: cualquier otro nivel sale igual de la tabla.
La media de la población es un número fijo, aunque no lo conozcas. Lo que cambia de una muestra a otra es el intervalo que construyes. Que el intervalo sea del noventa y cinco por ciento quiere decir que, si repitieras el proceso con muchas muestras distintas, en el noventa y cinco por ciento de ellas el intervalo contendría la media real. La confianza es del método, no de un intervalo concreto ya calculado: decir que hay un noventa y cinco por ciento de probabilidad de que la media esté dentro de un intervalo ya calculado es la interpretación que se corrige como incorrecta. En el examen se escribe así: «con una confianza del 95 %, la media de la población está entre tal y tal valor». Y si te preguntan si un valor concreto es admisible para la media, se mira si cae dentro del intervalo.
| Qué se calcula | Fórmula | Cuándo se usa |
|---|---|---|
| Intervalo para la media | media ± z · σ / √n | Cuando se conoce la desviación típica de la población |
| Error máximo admisible | E = z · σ / √n | Es la mitad del intervalo, no el intervalo entero |
| Amplitud del intervalo | amplitud = 2 · E | Cuando el enunciado da la longitud total del intervalo |
| Tamaño mínimo de la muestra | n ≥ (z · σ / E)2 | Cuando fijan el error y preguntan cuántos individuos hacen falta |
| Intervalo para una proporción | p ± z · √p · (1 − p) / n | Cuando lo que se estima es un porcentaje |
| Tamaño mínimo para una proporción | n ≥ z2 · p · (1 − p) / E2 | Si no hay ninguna estimación de p, se toma p = 0,5 |
| Nivel de confianza del 90 % | z = 1,645 | Deja un 5 % en cada cola |
| Nivel de confianza del 95 % | z = 1,96 | Deja un 2,5 % en cada cola |
| Nivel de confianza del 97 % | z = 2,17 | Deja un 1,5 % en cada cola: en la tabla se busca 0,985 |
| Nivel de confianza del 99 % | z = 2,576 | Deja un 0,5 % en cada cola |
Si el tamaño de la muestra sale con decimales, se redondea siempre hacia arriba: si la cuenta da 62,3, hacen falta 63 individuos. Redondear hacia abajo deja el error por encima del que pedía el enunciado.
Enunciado de la PAU de Andalucía 2026, convocatoria ordinaria, ejercicio 4 (2 puntos): «Una empresa de transporte contrata una consultora para optimizar sus recursos. La consultora estudia la distancia en kilómetros que recorren en cada viaje los camiones de la empresa, sabiendo que la variable que mide dicha distancia se distribuye según una Normal de varianza 225 km2 y media desconocida. Para ello, toma aleatoriamente una muestra de 49 viajes y obtiene una media de 325 km recorridos por viaje. a) (0.75 puntos) Calcule un intervalo de confianza al 97% para que la consultora pueda estimar la distancia media que recorren por viaje los camiones de la empresa. b) (0.5 puntos) A la vista del intervalo obtenido, razone si la consultora puede considerar que los camiones de la empresa recorren por término medio 310 km por viaje que realizan. c) (0.75 puntos) ¿Cuántos viajes, como mínimo, tendría que seleccionar aleatoriamente la consultora para estimar la distancia media que recorren por viaje los camiones de la empresa mediante un intervalo de confianza del 99% que tuviera una amplitud inferior a 4 km?»
El enunciado da la varianza, σ2 = 225 km2, y la fórmula lleva la desviación típica: σ = √225 = 15 km. Meter 225 en lugar de 15 es el error de la varianza de la lista de abajo, y da un intervalo quince veces más ancho.
Fuera del intervalo queda el 3 %, un 1,5 % en cada cola. Por debajo de z tiene que quedar 1 − 0,015 = 0,985, y en la tabla aparece exacto en la fila 2,1 y la columna 0,07: z = 2,17. Usar 1,96 por costumbre es el error del nivel equivocado.
E = z · σ / √n = 2,17 · 15 / √49 = 2,17 · 15 / 7 = 32,55 / 7 = 4,65 km. Se divide entre la raíz de 49, que es 7, y no entre 49.
(325 − 4,65 ; 325 + 4,65) = (320,35 ; 329,65). Con una confianza del 97 %, la distancia media por viaje está entre 320,35 y 329,65 km.
310 es menor que el extremo inferior, 320,35: queda fuera del intervalo. Con una confianza del 97 %, la consultora no puede considerar que los camiones recorran por término medio 310 km por viaje.
La amplitud es el intervalo entero, el doble del error: amplitud menor que 4 km quiere decir E < 2 km. Si se mete 4 como error, sale n > 93,3, es decir 94 viajes, cuatro veces menos de lo necesario: es el error de confundir amplitud y error.
Al 99 %, z = 2,576. De 2,576 · 15 / √n < 2 sale √n > 2,576 · 15 / 2 = 38,64 / 2 = 19,32, y elevando al cuadrado, n > 19,322 = 373,2624.
n tiene que ser un número entero mayor que 373,26: hacen falta como mínimo 374 viajes. Redondear a 373 dejaría el error por encima de 2 km. Si se toma z = 2,575, el punto medio de la tabla, sale n > 372,97 y el mínimo es 373: se deja escrito qué valor de z se ha usado. Resultado: a) (320,35 ; 329,65) km; b) no, 310 km queda fuera; c) 374 viajes.
Cuando lo que se estima es un porcentaje (de votantes, de piezas defectuosas, de personas que cumplen algo), cambia el error típico y el resto es igual.
Con la proporción de la muestra, p = casos favorables / n, el intervalo es p ± z · √p · (1 − p) / n. En lugar de σ / √n va √p · (1 − p) / n. Se usa con muestras grandes, y los dos extremos tienen que quedar entre 0 y 1.
Despejando n del error E = z · √p · (1 − p) / n sale n ≥ z2 · p · (1 − p) / E2, y se redondea hacia arriba como en la media. Si el enunciado da una proporción previa, se usa esa.
Se toma p = 0,5, porque es donde p · (1 − p) vale más (0,25), y la muestra que sale sirve sea cual sea la proporción real. Para un error del 3 % al 95 %: n ≥ 1,962 · 0,25 / 0,032 = 0,9604 / 0,0009 = 1067,1, así que hacen falta 1068 personas. Al 99 %, con z = 2,576: n ≥ 1,658944 / 0,0009 = 1843,3, es decir, 1844. El error va en tanto por uno: 0,03 y no 3.
En la fórmula del intervalo, la desviación típica va dividida entre la raíz del tamaño de la muestra. Hacerlo da un intervalo mucho más estrecho de lo que debería, que además parece razonable a simple vista y por eso no se detecta al revisar.
En CCSS el intervalo para la media se hace con la desviación típica de la población conocida: el enunciado la da, o dice que se conoce por estudios anteriores. Cuando lo que da es la varianza, hay que sacarle la raíz antes de sustituir: una varianza de 225 es una desviación típica de 15. Con 225 en la fórmula, el error sale quince veces mayor.
El error es lo que se suma y se resta a la media, así que el intervalo mide el doble. Si el enunciado dice que la amplitud es cuatro unidades, el error es dos. Meter la amplitud donde va el error hace que el tamaño muestral salga cuatro veces menor, porque el error está dividiendo y va al cuadrado: se da por buena una muestra que no llega a la precisión pedida.
El número que multiplica depende del nivel de confianza que pida el enunciado, y hay que repartir lo que queda fuera entre las dos colas. Coger de la tabla el valor que deja fuera el cinco por ciento entero en vez del dos y medio de cada lado da 1,645 donde tenía que ir 1,96.
El tamaño se redondea siempre al entero superior, aunque los decimales sean pequeños. Con el entero inferior el error se pasa del máximo que fijaba el enunciado, así que la respuesta no cumple la condición que pedían. Se pierde el apartado por un detalle de una línea.
Subirlo hace el intervalo más ancho, o sea menos preciso. Se gana seguridad y se pierde exactitud, y las dos cosas no se pueden mejorar a la vez sin aumentar la muestra.
Nivel 1 gratis
¿Sabes qué fórmula toca antes de calcular? Qué distribución sigue la media de una muestra, qué valor de la tabla corresponde a cada nivel de confianza, qué es el error y qué la amplitud, qué pasa al subir el nivel o el tamaño y hacia dónde se redondea el tamaño de la muestra. Se contesta marcando.
Hacer el test de Inferencia estadística →La regla · 10 preguntas · 5 minutos
Se estrecha, porque la raíz del tamaño está dividiendo. Para reducir el error a la mitad hay que multiplicar la muestra por cuatro, porque la raíz de 4n es el doble de la raíz de n: pasar de 49 a 196 individuos divide el error entre 2.
Se dan con dos o tres decimales, y conviene arrastrar los decimales completos en los cálculos intermedios y redondear solo al final. Redondear a mitad del ejercicio puede mover el segundo decimal del resultado.
Depende de la comunidad: en unas está en el temario y en otras el bloque se queda en los intervalos de confianza. Conviene comprobarlo en las orientaciones oficiales de tu comunidad antes de dedicarle tiempo.
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