Tema 4.1 · Física moderna · Física
El método, en corto
Cada paso, explicado y con sus trampas, más abajo.
Casi todo el tema cuelga de un único número, el factor de Lorentz γ = 1/raíz(1 − v²/c²). Una vez lo tienes, el resto son cuatro fórmulas que se aplican en una línea: Δt = γ·Δt₀ para el tiempo, L = L₀/γ para la longitud, E = γ·m₀·c² para la energía total y Ec = (γ − 1)·m₀·c² para la cinética. La dificultad no está en el cálculo, sino en decidir si hay que multiplicar por γ o dividir entre γ, y eso depende de una sola pregunta: quién mide el tiempo propio y quién mide la longitud propia. El currículo estatal (Real Decreto 243/2022) resume el tema en una línea —principios de la relatividad especial y sus consecuencias: contracción de la longitud, dilatación del tiempo, energía y masa relativistas—, así que lo que se pide es exactamente eso: los dos postulados explicados con palabras y esas cuatro cuentas bien orientadas.
El mismo guion sirve para una nave, un muón o un electrón acelerado: cambia el dato, no el método.
Dentro de γ solo aparece el cociente v/c, así que si el enunciado dice 0,8c puedes sustituir directamente (0,8)² sin pasar nada a metros por segundo. Si en cambio te dan la velocidad en metros por segundo, divide entre 3·10⁸ antes de elevar al cuadrado. Lo que no se puede hacer es mezclar: poner 2,4·10⁸ arriba y dejar la c abajo sin elevarla también.
Primero 1 − v²/c², después la raíz cuadrada y por último el inverso. Conviene apuntar γ con cuatro decimales y no redondearlo hasta el resultado final, porque a velocidades altas γ crece muy deprisa y un redondeo temprano se nota: a 0,9c vale 2,2942 y a 0,99c ya vale 7,0888.
El tiempo propio Δt₀ lo mide el reloj que viaja con el suceso (el de la nave, el del muón); la longitud propia L₀ se mide con el objeto en reposo respecto a quien mide. Es el paso donde se decide todo: el tiempo propio es el menor de los dos y la longitud propia es la mayor. Escríbelo en el examen antes de sustituir nada.
El tiempo se multiplica por γ y la longitud se divide entre γ: Δt = γ·Δt₀ y L = L₀/γ. Si el dato que te dan es el de tierra y te piden el de la nave, vas al revés: divides el tiempo y multiplicas la longitud. Van en sentidos opuestos precisamente porque con un γ mayor el tiempo se alarga y el espacio se acorta.
Como γ ≥ 1, el tiempo medido desde fuera nunca puede salir menor que el propio ni la longitud medida mayor que la propia. Si te sale al revés, has invertido la fórmula. Y si la velocidad es pequeña comparada con c, el resultado tiene que parecerse al clásico: a 0,1c el factor vale 1,005, es decir, medio por ciento de diferencia.
La energía total es E = γ·m₀·c², la de reposo es E₀ = m₀·c² y la cinética es la diferencia: Ec = (γ − 1)·m₀·c². Si te piden la cinética y contestas con la total, el resultado está mal aunque las cuentas estén bien hechas. Trabajar en MeV suele ahorrar potencias de diez, porque la energía en reposo del electrón es 0,511 MeV y la del protón, 938,3 MeV.
Las cuestiones de razonar del tema se responden con estas ideas, y valen tanto como un problema entero.
El primero, el principio de relatividad, dice que las leyes de la física tienen la misma forma en todos los sistemas de referencia inerciales, es decir, en todos los que se mueven unos respecto a otros con velocidad constante. El segundo dice que la velocidad de la luz en el vacío es la misma para todos los observadores inerciales, sin que importe cómo se muevan la fuente o el observador. Lo llamativo es el segundo: choca con la suma de velocidades de toda la vida, porque si persigues a un rayo de luz a 0,9c sigues midiendo que se te escapa a c.
Imagina un reloj hecho de dos espejos entre los que rebota un pulso de luz. Para quien viaja con el reloj, el pulso sube y baja en vertical y tarda Δt₀ = 2L/c. Para quien lo ve pasar, el reloj se desplaza mientras el pulso sube, así que la luz recorre una diagonal más larga; y como tiene que recorrerla a la misma velocidad c —lo exige el segundo postulado—, tarda más. De ahí sale Δt = γ·Δt₀ sin más que aplicar el teorema de Pitágoras.
El tiempo propio es el que mide un reloj para el que los dos sucesos ocurren en el mismo sitio: el reloj que está en reposo respecto a lo que se estudia. Cualquier otro observador ve esos dos sucesos ocurrir en lugares distintos y mide un intervalo mayor, porque γ ≥ 1. Decirlo con esas palabras —«en el mismo lugar»— es lo que distingue una respuesta completa de una respuesta a medias.
Un objeto que pasa a velocidad v se mide más corto en la dirección en la que se mueve, pero sus dimensiones perpendiculares no cambian: una varilla que va de punta se acorta, y su grosor sigue igual. Por eso en los problemas hay que mirar cómo está orientado el objeto respecto a la velocidad antes de dividir entre γ.
Para el astronauta, son los relojes de la Tierra los que van despacio: cada uno ve ralentizado al otro, y no hay contradicción porque ninguno de los dos es «el que está quieto de verdad». La asimetría aparece cuando el viajero da la vuelta: para volver tiene que frenar y acelerar, de modo que no permanece en un mismo sistema inercial y el gemelo terrestre sí. Por eso el viajero regresa más joven.
A medida que v se acerca a c, el denominador √1 − v²/c² tiende a cero y γ se dispara. Como la energía total es γ·m₀·c², haría falta una energía infinita para llegar a c con una masa en reposo distinta de cero. Dicho en términos de masa relativista, m = γ·m₀ crece sin límite y el cuerpo se vuelve cada vez más difícil de acelerar. La velocidad de la luz es un tope que se puede rozar, no alcanzar.
No dice que la masa se pueda «convertir» en energía como quien cambia moneda, sino que masa y energía son dos formas de contar lo mismo: un cuerpo parado ya tiene una energía m₀·c² por el hecho de tener masa. La lectura que se usa en los problemas es la de la variación: ΔE = Δm·c². Si en una reacción nuclear el conjunto pierde masa, esa diferencia aparece como energía liberada, y al revés.
El factor γ se separa de 1 muy despacio: a 0,1c vale 1,005 y a 0,3c, 1,048. Con las velocidades de un coche o de un avión la corrección es tan pequeña que ningún instrumento corriente la distingue, y por eso la mecánica de Newton funciona. La relatividad no sustituye a Newton: lo contiene como el caso en que v es despreciable frente a c.
Varios son el mismo fallo con distinta cara: haber puesto γ en el lado equivocado de la igualdad.
Pasa cuando el enunciado da el tiempo medido desde tierra y se multiplica por γ como si fuera el propio. El tiempo propio es el que mide el reloj que acompaña al objeto y es el menor de los dos, así que si el dato es el de tierra hay que dividir. El resultado sale mayor que el dato en vez de menor, y eso se ve a simple vista si se comprueba el sentido antes de entregar.
El tiempo se multiplica y la longitud se divide, y quien se aprende solo «se multiplica por gamma» aplica lo mismo a las dos. Van en sentidos contrarios: el que ve pasar el objeto mide más tiempo y menos longitud. Una longitud medida desde fuera mayor que la longitud propia es imposible y delata el error sin necesidad de repasar la cuenta.
La fórmula clásica deja de valer cuando v es comparable a c, y la diferencia no es un matiz: para un electrón a 0,9c la expresión clásica da unos 0,21 MeV y la relativista, (γ − 1)·m₀·c², da 0,66 MeV, más del triple. La energía cinética relativista es la energía total menos la de reposo, nunca ½·m·v².
E = γ·m₀·c² es todo lo que tiene la partícula, incluida la energía que ya tenía estando parada. Si el apartado pide la energía cinética hay que restarle la de reposo, y si pide la total, no. Cuando la partícula está en reposo la energía total no es cero, sino m₀·c², y eso es justo lo que el error se salta.
Si la velocidad viene como 0,8c, dentro de la raíz se sustituye directamente 0,8 al cuadrado, porque lo que aparece es el cociente v/c. El fallo es escribir 2,4·10⁸ en el numerador y olvidar elevar al cuadrado la c del denominador, o al revés. El γ que sale entonces es absurdo, muchas veces la raíz de un número negativo.
En los apartados nucleares el defecto de masa suele venir en unidades de masa atómica, y c² trabaja en unidades del sistema internacional. O se convierte la masa a kilogramos antes de multiplicar, o se usa directamente la equivalencia 1 u = 931,5 MeV. Mezclar las dos vías da resultados que se van en varios órdenes de magnitud.
La contracción solo afecta a la dimensión paralela al movimiento; las perpendiculares quedan igual. Si el enunciado da una nave que viaja a lo largo y pregunta por su anchura, la respuesta es que no cambia. Contraer también lo perpendicular deja el apartado de razonar sin la mitad de la respuesta.
Nivel 1 gratis
¿Sabes qué decide cada pregunta antes de ponerte a calcular? Qué reloj mide el tiempo propio, en qué dirección se contrae una longitud, cuándo hace falta la relatividad y qué diferencia hay entre energía total y cinética. Se contesta marcando.
Hacer el test de Relatividad especial →La regla · 10 preguntas · 5 minutos
Las tres primeras filas son cinemática y las de abajo, dinámica. Fíjate en cuáles multiplican por γ y cuáles dividen.
| Qué se calcula | Fórmula | Cuándo se usa |
|---|---|---|
| Factor de Lorentz | γ = 1/√1 − v²/c² | Lo primero de todo: sin γ no se hace nada más |
| Dilatación del tiempo | Δt = γ·Δt₀ | Δt₀ lo mide el reloj que viaja con el suceso |
| Contracción de la longitud | L = L₀/γ | L₀ se mide con el objeto en reposo; solo se acorta la dirección del movimiento |
| Masa relativista | m = γ·m₀ | Cuando el enunciado pregunta por la masa medida desde fuera |
| Momento lineal relativista | p = γ·m₀·v | Sustituye a p = m·v cuando v es comparable a c |
| Energía en reposo | E₀ = m₀·c² | La que tiene la partícula parada; para el electrón, 0,511 MeV |
| Energía total | E = γ·m₀·c² | Todo lo que tiene la partícula, reposo incluido |
| Energía cinética relativista | Ec = (γ − 1)·m₀·c² | Energía total menos energía en reposo; nunca ½·m·v² |
| Relación energía-momento | E² = (m₀·c²)² + (p·c)² | Cuando dan el momento y piden la energía, o al revés |
| Equivalencia masa-energía | ΔE = Δm·c² | Defecto de masa en fisiones y fusiones |
| Velocidad de la luz | c = 3·108 m/s | Valor de trabajo; el exacto es 2,998·108 m/s |
| Paso de electronvoltios a julios | 1 eV = 1,602·10-19 J | 1 MeV = 106 eV = 1,602·10-13 J |
| Equivalencia de la unidad de masa atómica | 1 u = 931,5 MeV | Atajo para los defectos de masa nucleares |
Valores de γ que conviene reconocer: a 0,6c vale exactamente 1,25 y a 0,8c, 5/3 ≈ 1,667; son los más cómodos, porque 0,6 y 0,8 son los catetos del triángulo 3-4-5. A 0,9c vale 2,294 y a 0,99c, 7,089. En sentido contrario, a 0,1c vale 1,005: medio por ciento por encima del caso clásico.
Los muones se crean en lo alto de la atmósfera, a unos diez kilómetros, y viven de media 2,2 microsegundos antes de desintegrarse. Con esa vida, incluso viajando casi a la velocidad de la luz, solo recorrerían unos seiscientos sesenta metros: no deberían llegar nunca al suelo. Y llegan. La explicación es la dilatación del tiempo: a 0,998c el factor de Lorentz vale 15,8, así que desde tierra su vida se mide en unos 35 microsegundos y en ese tiempo recorren algo más de diez kilómetros. Visto desde el propio muón la historia es otra y sale igual de bien: para él el tiempo es el de siempre, 2,2 microsegundos, pero la atmósfera viene hacia arriba contraída y esos diez kilómetros son solo seiscientos y pico metros. Los dos observadores discrepan en cuánto duró y en cuánto midió el camino, y coinciden en lo que se puede comprobar: el muón llega. Merece la pena tener el ejemplo preparado, porque sirve tanto para un apartado numérico como para la cuestión de razonar sobre si la dilatación del tiempo es un efecto real o una ilusión de la medida. Lo es tanto que en 1971 Hafele y Keating dieron la vuelta al mundo en aviones comerciales con relojes atómicos y, al aterrizar, marcaban otra hora que los relojes que se habían quedado en tierra, con una diferencia de unos cientos de nanosegundos.
El primero es que las leyes de la física son las mismas en todos los sistemas de referencia inerciales. El segundo es que la velocidad de la luz en el vacío vale lo mismo para cualquier observador inercial, sin depender del movimiento de la fuente ni del que mide. Todo lo demás del tema sale de estos dos.
γ = 1/√1 − v²/c². Se calcula primero 1 − v²/c², luego la raíz cuadrada y por último el inverso. Vale 1 cuando el cuerpo está en reposo y crece sin límite al acercarse v a c, pero nunca es menor que 1.
Δt = γ·Δt₀, donde Δt₀ es el tiempo propio, el que mide el reloj que viaja con el suceso, y Δt el que mide quien ve ese reloj moverse. Como γ ≥ 1, el tiempo propio es el menor de los dos.
Es el intervalo medido por el reloj para el que los dos sucesos ocurren en el mismo lugar, es decir, el que está en reposo respecto a lo que se estudia: el reloj de la nave para algo que pasa dentro de la nave, o el del muón para su propia desintegración.
El tiempo propio se multiplica por γ para obtener el de fuera, y la longitud propia se divide entre γ. Si vas en sentido contrario, del dato de fuera al del objeto, inviertes las dos operaciones. La regla corta: el tiempo se alarga y el espacio se acorta.
No. Solo se acorta la dimensión paralela a la velocidad; el ancho y el alto de un cuerpo que se mueve a lo largo no cambian. Conviene decirlo de forma explícita en las cuestiones teóricas, porque es justo el matiz que se está evaluando.
Que masa y energía son equivalentes: un cuerpo en reposo ya posee una energía m₀·c² solo por tener masa. En los problemas se usa sobre todo en la forma ΔE = Δm·c², que relaciona el defecto de masa de una reacción nuclear con la energía que libera.
Restando la energía en reposo a la total: Ec = (γ − 1)·m₀·c². La expresión clásica ½·m·v² solo sirve cuando la velocidad es pequeña frente a la de la luz, y a velocidades relativistas se queda muy por debajo del valor correcto.
Porque al acercarse v a c el factor γ tiende a infinito, y con él la energía total γ·m₀·c². Acelerar hasta c un cuerpo con masa en reposo exigiría una energía infinita, así que c es un límite inalcanzable para cualquier cuerpo con masa.
Cada gemelo ve ralentizado el reloj del otro, así que parece que ninguno puede ser más joven. La simetría se rompe porque el que viaja tiene que frenar y acelerar para volver, y por tanto no permanece en un sistema inercial. Quien regresa es el más joven.
Buscaba detectar el movimiento de la Tierra respecto al éter comparando la luz que recorría dos brazos perpendiculares de un interferómetro. El resultado fue nulo: la luz iba igual de rápida en todas las direcciones. Ese resultado dejó sin sentido al éter y encaja con el segundo postulado de Einstein.
Es la masa medida por un observador que ve moverse al cuerpo, m = γ·m₀, mayor que la masa en reposo m₀. La masa en reposo es la misma para todos; la relativista depende de quién mide. Los libros actuales prefieren hablar solo de masa en reposo, pero varios temarios autonómicos la nombran y hay que saber manejarla.
No hay una frontera oficial: depende de la precisión que se pida. Como referencia, a 0,1c el factor de Lorentz vale 1,005 y a 0,3c, 1,048, así que por debajo de esas velocidades la corrección es de pocas unidades por ciento. En los enunciados de la PAU la velocidad suele darse como una fracción de c precisamente para que quede claro que toca usarlas.
Todo esto desarrollado paso a paso, con los trucos que ahorran tiempo, los errores señalados donde se cometen y ejercicios tipo PAU resueltos. Ya se puede descargar gratis en PDF desde el temario de Física.