Tema 4.3 · Física moderna · Física
El método, en corto
Cada paso, explicado y con sus trampas, más abajo.
Es el tema con menos fórmulas de toda la Física de segundo y, aun así, el que más puntos regala por unidades. Todo el bloque se sostiene sobre dos ideas: la masa que falta en un núcleo es la energía que lo mantiene unido, y el número de núcleos sin desintegrar cae de forma exponencial con el tiempo. A partir de ahí casi todo es sustituir. Lo que hace perder puntos no es el planteamiento: es poner λ en días y el tiempo en segundos, trabajar con gramos donde la fórmula pide núcleos, o mezclar unidades de masa atómica con kilogramos en la misma resta. Esta página va por ese orden: primero de dónde sale la energía, después cómo se resuelve una desintegración, y al final la lista de fallos que cuestan el apartado entero.
La parte que se pide explicar con palabras, y de la que salen después todos los números del tema.
Si se suman por separado las masas de los protones y los neutrones que forman un núcleo, el total sale mayor que la masa real de ese núcleo. Esa diferencia es el defecto de masa, Δm. No es que se pierda materia: esa masa se convirtió en la energía que se liberó al unirse los nucleones, y es exactamente la que habría que devolverle al núcleo para volver a separarlos uno a uno. Por eso Δm siempre sale positivo; si sale negativo, la resta está hecha al revés.
La relación es E = Δm·c², pero para usarla así hay que pasar Δm a kilogramos y el resultado sale en julios. En la PAU se atajan los dos pasos con la equivalencia 1 u equivale a 931,5 MeV: si Δm está en unidades de masa atómica, basta con multiplicar por 931,5 y el resultado ya está en megaelectronvoltios. El valor exacto de la constante es 931,494 MeV por unidad de masa atómica, y en los enunciados aparece redondeado a 931,5.
La energía de enlace total crece con el tamaño del núcleo: el uranio tiene muchísima más que el helio simplemente porque tiene muchos más nucleones, y eso no lo hace más estable. Lo que mide la estabilidad es la energía de enlace por nucleón, es decir, la energía total dividida entre A. Comparar dos núcleos con la energía total en vez de con la de por nucleón es una respuesta directamente equivocada, y es la trampa habitual de las cuestiones teóricas.
Si se representa la energía de enlace por nucleón frente al número másico, la curva sube muy deprisa en los núcleos ligeros, alcanza su máximo en la zona del hierro, alrededor de 8,8 MeV por nucleón, y después baja despacio hasta los 7,6 MeV por nucleón del uranio. Ese máximo es la clave del tema entero: todo proceso que acerque un núcleo a la cima de la curva libera energía, venga por la izquierda uniendo núcleos o por la derecha rompiéndolos.
Dentro del núcleo hay cargas positivas muy juntas repeliéndose eléctricamente, y aun así no se desmonta. La responsable es la interacción nuclear fuerte, mucho más intensa que la eléctrica pero de alcance cortísimo, del orden de 10⁻¹⁵ metros. Ese alcance tan corto explica que los núcleos muy grandes sean inestables: la fuerza fuerte solo llega a los vecinos inmediatos, mientras que la repulsión eléctrica la nota cada protón de todos los demás.
Den lo que den, el orden es este.
La ley es N = N₀·e^(−λt), y la actividad sigue la misma forma: A = A₀·e^(−λt). Lo primero, antes de calcular nada, es elegir una unidad de tiempo y no moverse de ahí: si λ se usa en s⁻¹, el tiempo va en segundos; si λ se deja en días⁻¹, el tiempo va en días. Lo único que obliga a los segundos es la actividad, porque el becquerel se define como una desintegración por segundo.
El dato que suelen dar no es λ, sino el periodo de semidesintegración T₁⁄₂, el tiempo que tarda la muestra en quedarse en la mitad. La relación es T₁⁄₂ = ln2/λ, así que λ = ln2/T₁⁄₂, con ln2 = 0,693. La vida media es otra cosa: τ = 1/λ, que es T₁⁄₂ dividido entre ln2, o sea 1,44 veces mayor que la semivida.
Cuando el enunciado da un tiempo que es un número entero de semividas, el atajo es N = N₀/2ⁿ, siendo n el número de semividas transcurridas. Tras una semivida queda la mitad, tras dos la cuarta parte, tras tres la octava y tras diez, menos de la milésima parte. Si el tiempo no es múltiplo exacto, no se redondea n: se vuelve a la exponencial.
La actividad es A = λ·N, y esa N es el número de núcleos, no los gramos de muestra. Para obtenerla se divide la masa entre la masa molar del isótopo y se multiplica por el número de Avogadro, 6,022·10²³ núcleos por mol. Meter directamente los gramos en A = λ·N deja el apartado en cero aunque el planteamiento fuera correcto.
Cuando lo que piden es cuánto tarda la muestra en reducirse a una fracción dada, o la edad de una muestra en datación con carbono-14, se toma logaritmo neperiano en N = N₀·e^(−λt) y queda t = ln(N₀/N)/λ. Con el carbono-14, cuyo periodo de semidesintegración ronda los 5730 años, ese es exactamente el cálculo que pide la datación de un resto orgánico.
La exponencial decreciente nunca llega a cero y nunca sube. Si sale un número de núcleos mayor que el inicial, el signo del exponente está cambiado; si sale negativo, hay un error de cuentas. Y si piden la actividad después de un tiempo larguísimo comparado con la semivida, el resultado tiene que ser un número pequeño, no cero exacto.
Las de arriba son de energía nuclear, las del medio de desintegración y las de abajo, las equivalencias entre unidades que hay que hacer antes de operar.
| Qué se calcula | Fórmula | Unidades y cuándo se usa |
|---|---|---|
| Defecto de masa de un núcleo | Δm = Z·m_p + (A − Z)·m_n − m_núcleo | En u; siempre sale positivo |
| Energía de enlace total | E = Δm·c2 | En julios si Δm va en kg |
| Energía de enlace en megaelectronvoltios | E (MeV) = Δm (u) · 931,5 | El atajo: se salta el paso por kilogramos |
| Energía de enlace por nucleón | E/A | MeV por nucleón; es la que mide la estabilidad |
| Energía liberada en una reacción nuclear | ΔE = (masa reactivos − masa productos) · 931,5 | En MeV; positiva si la reacción libera energía |
| Ley de desintegración radiactiva | N = N₀·e−λt | N es número de núcleos, nunca gramos |
| Actividad de la muestra | A = λ·N = A₀·e−λt | En becquerel; exige λ en s-1 |
| Periodo de semidesintegración | T₁⁄₂ = ln2/λ | Tiempo en el que queda la mitad |
| Vida media | τ = 1/λ = T₁⁄₂/ln2 | Es 1,44 veces la semivida, no la misma cosa |
| Atajo por semividas | N = N₀/2n | Solo si el tiempo es un número entero de semividas |
| Tiempo transcurrido o edad de la muestra | t = ln(N₀/N)/λ | Datación con carbono-14 y problemas inversos |
| Número de núcleos a partir de la masa | N = (m/M)·N_A | Con N_A = 6,022·1023 núcleos/mol |
| Unidad de masa atómica | 1 u = 1,66054·10-27 kg = 931,5 MeV/c2 | La equivalencia más usada del tema |
| Paso de megaelectronvoltios a julios | 1 MeV = 1,602·10-13 J | Solo si piden el resultado en unidades del SI |
| Unidades de actividad | 1 Bq = 1 desintegración/s; 1 Ci = 3,7·1010 Bq | El becquerel es la unidad del SI; el curio, la antigua |
Las masas que suelen venir dadas en el enunciado son la del protón, 1,007276 u, la del neutrón, 1,008665 u, y la del átomo de hidrógeno, 1,007825 u. Si la masa del núcleo que dan es en realidad la masa atómica, hay que usar la del átomo de hidrógeno en vez de la del protón: así los electrones se cancelan solos y el defecto de masa sale bien.
Parece una contradicción que romper núcleos grandes y unir núcleos pequeños liberen energía las dos, y la respuesta está entera en la curva de energía de enlace por nucleón. Esa curva tiene un máximo en la zona del hierro, en torno a 8,8 MeV por nucleón. Un núcleo pesado como el uranio-235 está a la derecha del máximo, con unos 7,6 MeV por nucleón, así que al partirse en dos fragmentos medianos sus nucleones quedan mejor ligados y sobra energía: unos 200 MeV por fisión contándolo todo, de los cuales la mayor parte se va en energía cinética de los fragmentos. Los núcleos ligeros están a la izquierda, subiendo: al fusionar deuterio y tritio para dar helio-4 y un neutrón se liberan unos 17,6 MeV, que por nucleón es bastante más que en la fisión, y por eso es la reacción que alimenta a las estrellas. La regla para el examen cabe en una frase: toda reacción que acerque los núcleos al máximo de la curva libera energía, y la energía que sale siempre se calcula igual, restando la masa de los productos a la de los reactivos y multiplicando por 931,5. Eso sí, en el balance de una fisión hay que contar el neutrón que entra en los reactivos y todos los neutrones que salen en los productos: olvidarlos cambia el resultado por completo.
Siete fallos que no son de teoría, sino de unidades y de definiciones, y que se llevan el apartado entero aunque el planteamiento fuera correcto.
Si el periodo de semidesintegración viene en días y se calcula λ en días elevado a menos uno, el tiempo del exponente tiene que ir también en días. En cuanto uno de los dos se pasa a segundos y el otro no, el exponente se va por un factor de 86.400 y el resultado sale absurdo. La única magnitud que obliga a trabajar en segundos es la actividad, porque el becquerel es una desintegración por segundo.
No son lo mismo y no se diferencian en un decimal: la semivida es el tiempo en el que queda la mitad de los núcleos, T₁⁄₂ = ln2/λ, y la vida media es el tiempo que dura por término medio un núcleo, τ = 1/λ. La vida media es 1,44 veces mayor que la semivida. Meter una donde va la otra es un error del 44 %, suficiente para invalidar todo lo que venga después.
El paso correcto es λ = ln2/T₁⁄₂, es decir, 0,693 dividido entre el periodo. Se falla escribiendo λ = 1/T₁⁄₂, que es la relación de la vida media, no la de la semivida. Así λ sale un 44 % más grande de lo que debería, y ese error arrastra a todo el ejercicio, incluida la actividad.
En A = λ·N, la N es el número de núcleos que quedan sin desintegrar. Si el enunciado da una masa, hay que convertirla antes dividiendo entre la masa molar y multiplicando por el número de Avogadro, 6,022·10²³. Es un fallo caro: con los gramos en lugar de los núcleos la actividad sale absurdamente pequeña, equivocada en unos veinte órdenes de magnitud.
O se trabaja en unidades de masa atómica y se multiplica por 931,5 para obtener megaelectronvoltios, o se pasa el defecto de masa a kilogramos y se multiplica por c² para obtener julios. Lo que no se puede es pasar Δm a kilogramos y luego multiplicar además por 931,5, ni dar en julios un resultado que se calculó con la equivalencia en MeV. Si piden julios habiendo calculado en MeV, la conversión es 1 MeV = 1,602·10⁻¹³ J.
El defecto de masa es la suma de las masas de los nucleones libres menos la masa del núcleo, en ese orden, y por eso siempre sale positivo. En una reacción nuclear la resta es la misma idea: masa de los reactivos menos masa de los productos. Un defecto de masa negativo es imposible en un núcleo estable, y sin embargo se entrega tal cual sin que salte ninguna alarma.
Decir que el uranio es más estable que el hierro porque su energía de enlace total es mucho mayor es la respuesta equivocada de la cuestión teórica más repetida del tema. La energía total crece sin más con el número de nucleones; lo que mide la estabilidad es la energía de enlace por nucleón, y ahí el máximo está en la zona del hierro, no en el uranio.
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¿Sabes qué decide cada pregunta antes de ponerte a calcular? Qué cambia en cada tipo de desintegración, por qué la estabilidad se mide por nucleón, en qué se diferencian la semivida y la vida media y qué unidades lleva cada fórmula. Se contesta marcando.
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Es la diferencia entre la suma de las masas de los protones y neutrones por separado y la masa real del núcleo que forman. Esa masa que falta se transformó en la energía que se liberó al formarse el núcleo, y es la misma que haría falta para deshacerlo. Siempre es positiva.
Se halla el defecto de masa en unidades de masa atómica, se multiplica por 931,5 para pasarlo a megaelectronvoltios y se divide el resultado entre el número másico A. Lo que sale son los MeV por nucleón, que es la magnitud con la que se compara la estabilidad de dos núcleos.
Una unidad de masa atómica equivale a 931,5 MeV dividido por c al cuadrado; el valor preciso es 931,494 MeV. En kilogramos, 1 u son 1,66054·10⁻²⁷ kg. En los exámenes la equivalencia viene dada en la hoja de constantes, redondeada a 931,5.
El periodo de semidesintegración es el tiempo que tarda la muestra en reducirse a la mitad y vale ln2 dividido entre λ. La vida media es lo que dura por término medio un núcleo y vale 1 dividido entre λ. La vida media es siempre mayor, exactamente 1,44 veces el periodo de semidesintegración.
Es la inversa de un tiempo, así que en el sistema internacional va en segundos elevado a menos uno. Puede usarse en días o en años elevados a menos uno siempre que el tiempo del exponente vaya en esa misma unidad. Para calcular una actividad en becquerel hay que llevarla obligatoriamente a segundos.
El becquerel es la unidad de actividad del sistema internacional y equivale a una desintegración por segundo. El curio es la unidad antigua y equivale a 3,7·10¹⁰ becquerel, un valor fijado por convenio a partir de la actividad aproximada de un gramo de radio-226.
Se divide la masa de la muestra entre la masa molar del isótopo, con lo que se obtienen los moles, y se multiplica por el número de Avogadro, 6,022·10²³. Ese paso es obligatorio antes de usar A = λ·N, porque esa fórmula cuenta núcleos, no masa.
En la alfa se emite un núcleo de helio-4, así que Z baja en 2 y A baja en 4. En la beta menos un neutrón se convierte en protón: Z sube en 1 y A no cambia. En la beta más ocurre lo contrario, Z baja en 1 y A no cambia. En la gamma no cambia ninguno de los dos, porque solo se emite un fotón que se lleva la energía sobrante.
No estaba ahí antes: se crea en el momento en que un neutrón se transforma en un protón, y junto a él sale un antineutrino. Por eso el número másico no cambia, porque el número total de nucleones sigue siendo el mismo, solo que uno de ellos ha cambiado de tipo.
La gamma, con diferencia: hace falta un blindaje de plomo de varios centímetros y aun así solo se atenúa. La beta la detienen unos milímetros de aluminio y la alfa se para con una hoja de papel. El poder de ionización va justo al revés: la alfa es la que más ioniza porque entrega toda su energía en muy poco recorrido.
Porque las dos acercan los núcleos al máximo de la curva de energía de enlace por nucleón, que está en la zona del hierro, alrededor de 8,8 MeV por nucleón. La fisión llega a ese máximo desde la derecha rompiendo núcleos pesados y la fusión desde la izquierda uniendo núcleos ligeros.
Del orden de 200 MeV por núcleo fisionado contando toda la energía del proceso, la mayor parte en forma de energía cinética de los dos fragmentos. Si en el examen solo dan las masas de una vía concreta, el balance de masas de esa reacción sale algo menor, porque el resto de la energía llega después con la desintegración de los fragmentos.
Se compara la actividad o el número de núcleos de carbono-14 que quedan con los que tenía al morir el ser vivo y se despeja el tiempo tomando logaritmos: t = ln(N₀/N) dividido entre λ. El periodo de semidesintegración del carbono-14 ronda los 5730 años, que es el valor con el que trabajan los enunciados.
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