Tema 3.4 · Vibraciones, ondas y óptica · Física
El método, en corto
Cada paso, explicado y con sus trampas, más abajo.
En acústica se juntan tres cosas que se calculan de forma distinta y se confunden entre sí. La intensidad, que es potencia por metro cuadrado y que en una fuente puntual se reparte sobre una esfera, así que cae con el cuadrado de la distancia: I = P/(4π·r²). El nivel sonoro en decibelios, β = 10·log(I/I₀), que es una escala logarítmica y por eso no se suma ni se resta como un número normal. Y el efecto Doppler, que cambia la frecuencia que oye alguien cuando la fuente, el observador o los dos se mueven. Las especificaciones de la PAU piden justo eso: identificar la relación logarítmica entre el nivel en decibelios y la intensidad, calcular la intensidad de una onda esférica en función de la distancia a la fuente y conocer la expresión de la frecuencia aparente en el caso unidimensional. Con esas fórmulas se resuelven los apartados numéricos; lo que hace perder puntos es operar con decibelios como si fueran vatios.
Cinco ideas que hay que poder escribir con palabras, porque en las cuestiones teóricas se piden así y no con una fórmula.
La intensidad es la potencia que transporta la onda por cada metro cuadrado de superficie perpendicular a la dirección en la que avanza: I = P/S, y se mide en W/m². No es lo mismo que la potencia de la fuente: la potencia es un dato de la fuente y no cambia con la distancia, mientras que la intensidad sí cambia, porque esa misma potencia se va repartiendo sobre superficies cada vez mayores. La intensidad depende del cuadrado de la amplitud y del cuadrado de la frecuencia de la onda, y es la magnitud física que está detrás de lo fuerte que suena algo.
Una fuente puntual que emite igual en todas direcciones reparte su potencia sobre una superficie esférica de área 4π·r². Como el área crece con el cuadrado del radio y la potencia es la misma, la intensidad vale I = P/(4π·r²) y cae con el cuadrado de la distancia. En la práctica eso significa que al doblar la distancia la intensidad queda en la cuarta parte, y al triplicarla, en la novena. La energía no se pierde en ese reparto: solo se distribuye entre más superficie. Aparte de eso, el medio absorbe parte de la energía y la convierte en calor, pero en los cálculos de la PAU se trabaja sin contar esa absorción salvo que el enunciado la dé.
El oído trabaja en un rango de intensidades enorme: desde unos 10⁻¹² W/m², que es el umbral de audición, hasta valores del orden de 1 W/m², donde el sonido empieza a doler. Son doce órdenes de magnitud, y una escala lineal sería inmanejable. Por eso se define el nivel de intensidad sonora, β = 10·log(I/I₀), que comprime ese rango entero en una escala que va de 0 a unos 120 dB. Además, la respuesta del oído es aproximadamente logarítmica: multiplicar la intensidad por diez sube el nivel 10 dB y se percibe más o menos como el doble de fuerte.
El efecto Doppler es el cambio de la frecuencia percibida cuando hay movimiento relativo entre la fuente sonora y el observador. Si se acercan, los frentes de onda llegan más juntos y la frecuencia percibida sube: el sonido se oye más agudo. Si se alejan, llegan más separados y se oye más grave. Lo importante para razonarlo en el examen es que la fuente sigue emitiendo la misma frecuencia de siempre: lo que cambia es la frecuencia con la que los frentes llegan al oído. En la PAU se plantea el caso unidimensional, con fuente y observador sobre la misma recta y las velocidades medidas respecto al medio por el que viaja el sonido.
El sonido es una onda mecánica longitudinal, así que necesita un medio material y no se propaga en el vacío. De lo que percibimos de él, la sonoridad o volumen corresponde a la intensidad, y por tanto a la amplitud; el tono, a la frecuencia, de modo que agudo es frecuencia alta y grave, frecuencia baja; y el timbre, a la forma de la onda, es decir, a la mezcla de armónicos, que es lo que permite distinguir dos instrumentos que tocan la misma nota. Las especificaciones de la PAU piden expresamente reconocer la relación de la intensidad y el tono con la amplitud y la frecuencia.
El problema tipo del tema: dan un nivel sonoro a una distancia y piden la potencia de la fuente, el nivel a otra distancia o la distancia a la que se deja de oír. Todos se resuelven con el mismo recorrido.
Solo hay tres piezas: la potencia de la fuente en vatios, la intensidad en W/m² y el nivel en decibelios. La potencia no cambia con la distancia; la intensidad y el nivel sí. Escribe al lado de cada dato cuál de las tres es y a qué distancia está medido, porque los enunciados suelen dar dos distancias distintas.
Los decibelios no se suman, no se restan y no se dividen entre distancias. En cuanto un dato venga en decibelios, conviértelo con la fórmula inversa, I = I₀·10^(β/10), y trabaja con intensidades. Es la regla que evita los fallos de sumar o restar decibelios.
Con la intensidad en la mano, I = P/(4π·r²) sirve en los dos sentidos: da la potencia si conoces intensidad y distancia, y da la intensidad a cualquier otra distancia si conoces la potencia. Si no te dan la potencia ni te la piden, ahórratela y usa directamente la proporción I₁/I₂ = r₂²/r₁².
Cuando ya tienes la intensidad que te pedían, aplica β = 10·log(I/I₀) y escribe la unidad. Si lo que piden es la diferencia entre dos puntos de la misma fuente puntual, hay un atajo que ahorra la mitad del ejercicio: β₁ − β₂ = 20·log(r₂/r₁), sin pasar por la potencia.
Los niveles de la vida real van de 0 dB en el umbral de audición a unos 120 dB en el umbral de dolor: un resultado de 400 dB o de −50 dB avisa de que hay un exponente mal copiado o de que se han sumado decibelios. Y si has calculado una intensidad, tiene que salir un número pequeño, del orden de 10⁻⁶ a 10⁻² W/m² —y como mucho en torno a 1 W/m², que es el umbral de dolor—, no decenas de vatios por metro cuadrado.
Seis fallos. Los cuatro primeros son de intensidad y decibelios; los dos últimos, de Doppler y de tubos.
Dos altavoces que dan 60 dB cada uno no dan 120 dB: dan 63 dB. La escala es logarítmica, así que lo que se suma son las intensidades, y duplicar la intensidad sube el nivel 10·log(2), es decir, unos 3 dB. El error es grave porque el resultado no solo está mal, sino que es físicamente imposible, y suele arrastrar todo el apartado. Con N fuentes iguales el atajo es β = β₁ + 10·log(N); con fuentes distintas hay que pasar cada nivel a intensidad, sumarlas y volver a convertir.
La fórmula que relaciona los niveles en dos puntos de una misma fuente puntual es β₁ − β₂ = 20·log(r₂/r₁), no 10·log. El 20 sale de que la intensidad va con 1/r²: al meter el cuadrado dentro del logaritmo, el exponente 2 pasa a multiplicar. Quien usa 10 obtiene exactamente la mitad de la caída, y como el resultado sigue pareciendo razonable, el fallo no se nota al revisar.
Si la distancia se multiplica por tres, la intensidad no se divide por tres, se divide por nueve. El origen del error es aplicar la proporción al revés o quedarse con la r sin elevar. Una forma rápida de no equivocarse es recordar de dónde sale: lo que crece es el área de la esfera, 4π·r², y el área lleva el cuadrado.
La intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud, así que si la amplitud se duplica la intensidad se multiplica por cuatro, no por dos. Y al revés: en una onda esférica la intensidad cae como 1/r², de modo que la amplitud cae como 1/r. Mezclar las dos cosas da factores mal por raíces o por cuadrados y afecta a los apartados que piden la amplitud a otra distancia.
En f′ = f·(v + v_observador)/(v − v_fuente), el numerador lleva el signo más cuando el observador se acerca a la fuente, y el denominador lleva el signo menos cuando la fuente se acerca al observador. Quien memoriza la fórmula sin entender el criterio acaba calculando un sonido más grave cuando la ambulancia viene hacia él. Hay una comprobación que cuesta cinco segundos: si se acercan, f′ tiene que salir mayor que f, y si se alejan, menor.
En un tubo cerrado por un extremo hay un nodo en el extremo cerrado y un vientre en el abierto, así que el fundamental es f = v/(4L) y solo existen los armónicos impares: el segundo armónico no se produce. En el tubo abierto por los dos extremos, y en la cuerda fija por los dos, el fundamental es v/(2L) y están todos. Aplicar la fórmula del abierto a un tubo cerrado da el doble de la frecuencia correcta, que es un fallo que se ve venir si se dibuja antes dónde cae el nodo.
Nivel 1 gratis
¿Sabes qué decide cada pregunta antes de ponerte a calcular? Por qué los decibelios no se suman, cómo cae la intensidad con la distancia, qué armónicos tiene un tubo cerrado y qué signo lleva cada movimiento en el efecto Doppler. Se contesta marcando.
Hacer el test de Acústica →La regla · 10 preguntas · 5 minutos
Todo el tema cabe aquí. Las cuatro primeras filas son las que se usan en los apartados numéricos.
| Qué se calcula | Fórmula | Cuándo se usa |
|---|---|---|
| Intensidad de una onda | I = P / S | Potencia por unidad de superficie perpendicular, en W/m² |
| Intensidad de una fuente puntual | I = P / (4π · r2) | Onda esférica: la potencia se reparte sobre la esfera de radio r |
| Intensidad a dos distancias | I₁ / I₂ = r₂2 / r₁2 | Para pasar de un punto a otro sin conocer la potencia |
| Nivel de intensidad sonora | β = 10 · log(I / I₀) | El nivel en decibelios; también aparece como sonoridad |
| Umbral de audición | I₀ = 10-12 W/m² | La referencia de la escala: le corresponden 0 dB |
| Intensidad a partir del nivel | I = I₀ · 10β/10 | La fórmula inversa: el primer paso cuando el dato viene en dB |
| Diferencia de niveles | Δβ = 10 · log(I₂ / I₁) | Cuando comparan dos sonidos o piden cuánto ha subido |
| Niveles a dos distancias | β₁ − β₂ = 20 · log(r₂ / r₁) | Atajo para una fuente puntual: lleva 20, no 10 |
| Suma de N fuentes iguales | β = β₁ + 10 · log(N) | Con dos fuentes iguales son solo 3 dB más |
| Suma de fuentes distintas | β = 10 · log((I₁ + I₂) / I₀) | Se suman las intensidades, nunca los decibelios |
| Intensidad, amplitud y frecuencia | I proporcional a A2 · f2 | En onda esférica, A cae como 1/r e I como 1/r2 |
| Efecto Doppler | f′ = f · (v + v_observador) / (v − v_fuente) | Más arriba si el observador se acerca; menos abajo si la fuente se acerca |
| Velocidad del sonido en el aire | v = 331 + 0,6 · T (°C) | Unos 343 m/s a 20 °C; en los exámenes se usa 340 m/s |
| Cuerda fija y tubo abierto | f = n · v / (2L), n = 1, 2, 3… | Vientre en los dos extremos del tubo, nodo en los de la cuerda |
| Tubo cerrado por un extremo | f = n · v / (4L), n = 1, 3, 5… | Solo armónicos impares: nodo en el cerrado, vientre en el abierto |
| Eco, sonar y ecolocalización | d = v · t / 2 | El sonido va y vuelve, por eso se divide entre dos |
Las especificaciones de la PAU de Física piden identificar la relación logarítmica entre el nivel de intensidad sonora en decibelios y la intensidad del sonido, calcular la intensidad de una onda esférica en función de la distancia a la fuente y conocer la expresión de la frecuencia aparente en el efecto Doppler unidimensional. La velocidad del sonido en el aire, 340 m/s, es uno de los pocos valores que pueden no venir en el enunciado.
Hay un número que resuelve medio tema de cabeza: con una fuente puntual, cada vez que la distancia se duplica el nivel baja unos 6 dB, y cada vez que se multiplica por diez baja 20 dB. Sale de β₁ − β₂ = 20·log(r₂/r₁), porque 20·log(2) son 6,02 y 20·log(10) son 20 exactos. Sirve para responder al momento a cuestiones del tipo «a qué distancia el nivel será de tantos dB» y, sobre todo, para comprobar un resultado ya calculado: si has pasado de 10 m a 100 m y no te han salido 20 dB menos, hay algo mal. Junto a él conviene llevar aprendido su hermano de las fuentes: duplicar el número de altavoces iguales sube 3 dB, porque 10·log(2) son 3,01. Seis al alejarse el doble, tres al duplicar las fuentes; con esos dos números se detecta a tiempo un resultado imposible.
Con β = 10·log(I/I₀), donde I es la intensidad del sonido en W/m² e I₀ es la intensidad umbral de audición. El logaritmo es decimal, en base 10. Si lo que te dan es el nivel y quieres la intensidad, se usa la fórmula inversa, I = I₀·10^(β/10).
I₀ = 10⁻¹² W/m². Es la intensidad más pequeña que el oído humano puede detectar y es la referencia de toda la escala: cuando I = I₀, el logaritmo vale cero y el nivel es 0 dB. Suele venir como dato en el enunciado, pero conviene sabérselo.
Porque los decibelios están en escala logarítmica y no se suman. Lo que se suma son las intensidades: dos fuentes iguales dan el doble de intensidad, y duplicar la intensidad sube el nivel 10·log(2), unos 3 dB. El resultado son 63 dB, no 120.
Unos 6 dB, si la fuente es puntual y no se tiene en cuenta la absorción del aire. Sale de β₁ − β₂ = 20·log(r₂/r₁) con r₂/r₁ = 2. Al multiplicar la distancia por diez, la caída es de 20 dB.
f′ = f·(v + v_observador)/(v − v_fuente), con v la velocidad del sonido en el medio. En el numerador el signo es más si el observador se acerca a la fuente y menos si se aleja; en el denominador es menos si la fuente se acerca al observador y más si se aleja. La regla para no fallar: si se acercan, la frecuencia percibida tiene que salir mayor.
340 m/s en el aire. Es uno de los pocos valores que las especificaciones de la PAU de Física dan por sabidos y pueden no aparecer en el examen, junto con la velocidad de la luz y la gravedad en la superficie terrestre. Si el problema da la temperatura, la velocidad se estima con v = 331 + 0,6·T, que a 20 °C da unos 343 m/s.
Al cuadrado, y también al cuadrado de la frecuencia. Por eso duplicar la amplitud multiplica la intensidad por cuatro. Y por eso, en una onda esférica donde la intensidad cae como 1/r², la amplitud cae solo como 1/r.
Porque el extremo cerrado obliga a que haya un nodo y el abierto, un vientre. La distancia mínima entre un nodo y un vientre es un cuarto de longitud de onda, así que en el tubo caben un cuarto, tres cuartos, cinco cuartos… y las frecuencias que salen son v/(4L) multiplicada por 1, 3, 5… El segundo armónico no encaja, y por eso un tubo abierto suena una octava más alto que un tubo cerrado de la misma longitud.
No. Es una onda mecánica longitudinal: necesita partículas de un medio material que se compriman y se separen para transmitir la perturbación. Por eso viaja más rápido en los sólidos que en los líquidos y en los líquidos que en los gases, al revés de lo que mucha gente supone, y por eso en el espacio no se oye nada.
La Organización Mundial de la Salud sitúa el límite seguro en torno a 85 dB para una jornada de ocho horas; por encima de ese nivel la exposición prolongada puede dañar el oído. El umbral de dolor está alrededor de los 120 dB. Es el contexto de los enunciados que hablan de contaminación acústica.
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